第23章 河南中招考点整合训练(三)（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

数学 九年级上册 人教版 四清导航 河南中招考点整合训练(三) 第二十三章　旋转 考点：与旋转有关的拓展探究题(2020.T23，2018.T22，2017.T22) 1．(河南中考)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是____________，位置关系是________________； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值． PM＝PN PM⊥PN 2．(汝南县期中)平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现：如图①，P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5.则∠APB的度数为__________； (2)类比延伸：如图②，在正方形ABCD内部有一点P.连接PA，PB，PC，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长； (3)拓展迁移：如图③，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数． 150° 解：(2)△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.又∵PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形 (3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝ eq \f(1,2) BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，此时点D在BA的延长线上，BD＝AB＋AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝ eq \f(1,2) PM2＝ eq \f(1,2) ×72＝ eq \f(49,2) 解：(2)如图②，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，则P′B＝PB＝4，P′C＝PA＝2，∵旋转角是90°，∴∠PBP′＝90°，∴△BPP′是等腰直角三角形，∴PP′＝ eq \r(2) PB＝4 eq \r(2) ，∠PP′B＝45°.∵∠APB＝135°，∴∠CP′B＝∠APB＝135°，∴∠PP′C＝135°－45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得，PC＝ eq \r(P′P2＋P′C2) ＝ eq \r(32＋4) ＝6 (3)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝ eq \r(11) .在Rt△PBP ′中，BP＝BP′＝1，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理得，PP′＝ eq \r(2) BP＝ eq \r(2) .∵AP＝3，∴AP2＋PP′2＝9＋2＝11，∵AP′2＝( eq \r(11) )2＝11，∴AP2＋PP′2＝AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45° $$