第二十三章 旋转（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）时钟上的分针匀速旋转一周需要 60min，则经过 5min，分针旋转了（    ） A．10° B．20° C．30° D．60° 2．（本题3分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知下列命题：（       ） ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．（本题3分）将点绕原点顺时针旋转得到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在如图的四个三角形中，由△ABC既不能经过旋转也不能经过平移得到的三角形是(　　) A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后得到，如果AP=2，那么的长等于（   ） A． B． C． D．4 7．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=5.2，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为(        ) A．0.8 B．2 C．2.2 D．2.8 8．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（    ） A．15° B．22.5° C．25° D．30° 9．（本题3分）如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案的关系为（　　） A．重合 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．宽度不变，高度变为原来的一半 10．（本题3分）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为（    ） A．(36，0) B． C． D．(27，0) 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称，则= ． 12．（本题3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 ． 13．（本题3分）如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则 度. 14．（本题3分）如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是 ． 15．（本题3分）如图所示，两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分的面积为 cm2． 16．（本题3分）如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，求的度数．    18．（本题4分）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，求的度数 19．（本题6分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置 （1）旋转中心是点 ，旋转角度是 度； （2）若连结EF，则△AEF是 三角形；并证明 20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和． (2)经旋转、平移后点的对应点分别为、，请写出点、的坐标． (3)是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请写出点、的坐标． 21．（本题8分）如图，已知△ACE是等腰直角三角形，B为AE上一点，△ABC经过旋转到达△EDC的位置，问： （1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？ （2）若已知∠ACB＝20°，求∠CDE、∠DEB的度数． 22．（本题10分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 23．（本题10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 24．（本题12分）将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°） （1）当DE∥AC时（如图2），求α的值； （2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值； （3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由． 25．（本题12分）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）时钟上的分针匀速旋转一周需要 60min，则经过 5min，分针旋转了（    ） A．10° B．20° C．30° D．60° 【答案】C 【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过6分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可． 【详解】根据题意知，分针旋转一周（360°）需要60min， 则分针每分钟旋转=6°， ∴经过5min，分针旋转了5×6=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键． 2．（本题3分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握相关定义是解题的关键.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．（本题3分）已知下列命题：（       ） ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】关于中心对称的两个图形一定是全等图形，但是两个全等图形不一定关于中心对称；故选A. 4．（本题3分）将点绕原点顺时针旋转得到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在平面直角坐标系中画出图形，连接、，过点作于点，过点作于点，然后由点的坐标与旋转变换、全等三角形的判定和性质即可求得答案． 【详解】解：∵将点绕原点顺时针旋转得到点 ∴连接、，过点作于点，过点作于点，如图： ∴，， ∴在和中， ∴ ∴， ∵的坐标为 ∴， ∴， ∴的坐标为 ∴将点绕原点顺时针旋转得到点的坐标为． 故选：D 【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换、全等三角形的判定和性质等，根据条件画出相应的图形、适当添加辅助线是解题的关键． 5．（本题3分）在如图的四个三角形中，由△ABC既不能经过旋转也不能经过平移得到的三角形是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，可得答案． 【详解】A、图形是由△ABC经过旋转或平移得到，故A正确； B、图形不能由△ABC经过旋转或平移得到，需要经过翻折，故B错误； C、图形由△ABC经过旋转得到，故C正确； D、图形由△ABC经过旋转或平移得到，故D正确； 故选B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 6．（本题3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后得到，如果AP=2，那么的长等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得出，，由可得，所以是等腰直角三角形，由AP的长度结合勾股定理计算出的长度即可． 【详解】由旋转的性质可得：=2，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，根据旋转的性质得出对应角的度数是解题关键． 7．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=5.2，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为(        ) A．0.8 B．2 C．2.2 D．2.8 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到△ABD为等边三角形，得到BD=AB=3，再根据线段和差计算得到答案即可． 【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE， ∴AB=AD， ∵∠B=60°， ∴△ABD为等边三角形，即BD=AB=3， ∴CD=BC-BD=5.2-3=2.2； 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握旋转的性质证得△ABD为等边三角形． 8．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（    ） A．15° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数． 【详解】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′， ∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'， ∴∠AD'D=(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°， ∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（本题3分）如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案的关系为（　　） A．重合 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．宽度不变，高度变为原来的一半 【答案】C 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1， 则对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 所以，所得图案与原图案关于y轴对称． 故选C． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 10．（本题3分）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为（    ） A．(36，0) B． C． D．(27，0) 【答案】B 【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，再利用面积法计算图②的直角顶点的纵坐标，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，所以图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，横坐标为两个三角形周长加OH的长． 【详解】解：，，， ， 过作轴于，如图， ， ， ， 根据图形，每3个图形为一个循环组，， 而， 图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，都为，图⑧的直角顶点的横坐标为， 即图⑧的直角顶点的坐标为，． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了勾股定理． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称，则= ． 【答案】1 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】∵点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称， ∴a=-4，b=3， ∴（a+b）2010=（-1）2010=1． 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单． 12．（本题3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 ． 【答案】55° 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和180度求出度数，再利用旋转角减去度数即可． 【详解】解：根据旋转的性质可知：， 在中，． 旋转角，所以． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角． 13．（本题3分）如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则 度. 【答案】45 【分析】由旋转的性质可得CF＝CE，∠ECF＝90°，然后可得∠EFC的度数． 【详解】解：∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形， ∴CF＝CE，∠ECF＝∠BCE＝90°， ∴∠EFC＝∠CEF＝45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了图形的旋转变化，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 14．（本题3分）如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质及中心对称的性质进行判断即可． 【详解】解：在中， ， ， ， 于点，于点， ， ， 四边形是平行四边形， ，故①②正确， ， ，即，故③正确， ∵， 和是中心对称图形，点是对称中心， 易证 ， ， ， ∴共10对全等三角形，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题是平行四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识，正确理解中心对称的性质是解本题的关键． 15．（本题3分）如图所示，两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】4． 【分析】图中阴影部分的面积不在任意的三角形中，所以需构造三角形，设BC与OE相交于M，CD与OG相交于N，连接OC、OB，则易证△OCN≌△OBM，则阴影部分的面积为△OBC的面积． 【详解】设BC与OE相交于M，CD与OG相交于N，连接OC、OB， ∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4cm ∴OB=OC=2cm 在△OCN和△OBM中，OB=OC，∠OCN=∠OBM=45°，∠CON=∠BOM ∴△OCN≌△OBM， ∵O是正方形ABCD的对称中心， △OCB的高等于正方形边长的一半， ∴S阴影=S△OBC=S正方形=4cm2． 故答案为4． 【点睛】把阴影部分的面积转化成三角形的面积是解题的关键． 16．（本题3分）如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 ． 【答案】≤DF≤+1 【分析】由题意可求AF=，且点F是以A为圆心，为半径的圆上一点，即可求DF的取值范围． 【详解】解：∵正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1 ∴AF= ∴点F是以A为圆心，为半径的圆上一点 ∴当F，D，A三点共线且D在线段AF之间时，DF最短为﹣1 当F，D，A三点共线且A在线段DF之间时，DF最长为+1 ∴-1≤DF≤+1 故答案为-1≤DF≤+1 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，解题关键是利用点F的轨迹求DF的取值范围． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，求的度数．    【答案】 【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出，以及，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】由题意可得：， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转三角形的角度问题，掌握旋转的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 18．（本题4分）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，求的度数 【答案】∠BAE=50° 【分析】根据平行线的性质得到∠ACD=∠CAB=65°，根据旋转变换的性质计算即可． 【详解】解：∵DC∥AB， ∴∠ACD=∠CAB=65°， 由旋转的性质可知，AD=AC，∠DAE=∠CAB=65°， ∴∠ADC=∠CAB=65°， ∴∠CAD=180°－∠ADC－∠ACD= 50°， ∴∠CAE=∠DAE－∠CAD=15°， ∴∠BAE=∠CAB－∠CAE=50°． 【点睛】本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 19．（本题6分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置． （1）旋转中心是点 ，旋转角度是 度； （2）若连结EF，则△AEF是 三角形；并证明 【答案】（1）A；90；（2）△AEF是等腰直角三角形， 【分析】（1）利用旋转的定义直接填写即可； （2）可证明△ADE≌△ABF，可得出AE=AF，且可求得∠EAF=90°； 【详解】解：（1）由旋转的定义可知旋转中心为A，AD从AD到AB，可知旋转了90°， 故答案为：A；90． （2）△AEF是等腰直角三角形， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵△ADE顺时针旋转后与△ABF重合， ∴△ADE≌△ABF，∠DAB=∠EAF=90°， ∴AE=AF， ∴△AEF是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角． 20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和． (2)经旋转、平移后点的对应点分别为、，请写出点、的坐标． (3)是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)， 【分析】（1）先根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律得出点，再顺次连接即可得；根据坐标平移规律得出点，然后顺次连接即可得； （2）根据（1）的变换规律即可求解； （3）根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律、坐标平移规律即可得． 【详解】（1）解：根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律：横、纵坐标位置互换，再将横坐标变为相反数， 则， 则， 即； 顺次连接点得到，顺次连接点得到，如图所示： （2）由（1）可知，； （3）由（1）坐标变换规律得：，． 【点睛】本题考查了画旋转图形、平移图形、点坐标变换规律，掌握点坐标变换规律是解题关键．点坐标平移规律：向左（或右）平移，横坐标减去（或加上）相应单位长度，纵坐标不变；向上（或向下）平移，横坐标不变，纵坐标加上（或减去）相应单位长度. 21．（本题8分）如图，已知△ACE是等腰直角三角形，B为AE上一点，△ABC经过旋转到达△EDC的位置，问： （1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？ （2）若已知∠ACB＝20°，求∠CDE、∠DEB的度数． 【答案】（1）点C为旋转中心，旋转了90°；（2）∠CDE＝115°，∠DEB＝90° 【分析】（1）由△ABC经过旋转到达△EDC的位置，可知△ABC≌△EDC，则C为旋转中心，旋转角即为对应点到旋转中心的连线所形成的夹角，即为∠ACE＝90°； （2）由△ACE为等腰直角三角形，则∠A＝∠CEB＝45°，从而∠ABC＝∠CDE＝115°，∠DEB＝∠DEC+∠CEA＝90°． 【详解】解：（1）∵△ABC经过旋转到达△EDC的位置， ∴△ABC≌△EDC， ∴点C为旋转中心， ∵AC＝CE， ∴AC和CE之间的夹角为旋转角， ∵∠ACE＝90°， 故旋转了90°； （2）∵△ACE为等腰直角三角形，∠ACE＝90°， ∴∠A＝∠CEB＝45°， ∵∠ACB＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣20°﹣45°＝115°， ∴∠CDE＝∠ABC＝115°， ∴∠DEC＝∠A＝45°， ∴∠DEB＝∠DEC+∠CEA＝45°+45°＝90°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质．关键是要找准图形旋转前后对应线段与对应角度． 22．（本题10分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 【答案】详见解析. 【分析】(1)、直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案； (2)、利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案． 【详解】(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°， ∴△AQE≌△AFE（SAS），  ∴∠AEQ=∠AEF，  ∴EA是∠QED的平分线；    (2)、由（1）得△AQE≌△AFE，   ∴QE=EF，  在Rt△QBE中， QB2+BE2=QE2， 则EF2=BE2+DF2． 考点：(1)、旋转的性质；(2)、正方形的性质． 23．（本题10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 【答案】（1）6+；（2）3﹣或3+ 【分析】（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论； （2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3 ∴AB=AC=6， ∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE， ∴当DE最小时，△ADE的周长最小， 过点C作CF⊥AB于点F， 当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3， ∴△ADE的周长的最小值是6+3； （2）当点D在CF的右侧， ∵CF=AB=3，CD=4， ∴DF=， ∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣； 当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+， 综上所述：AE的长度为3﹣或3+． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 24．（本题12分）将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°） （1）当DE∥AC时（如图2），求α的值； （2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值； （3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由． 【答案】（1）60°； （2）105°； （3）不变，其值为105°． 【分析】（1）由DE∥AC可得∠DCA＝∠D＝30°，则可求∠α＝∠DCB＝60°； （2）由DE∥AB可得∠E＝∠AFC＝60°，根据三角形内角和可求∠FCA＝75°即可求∠ACD＝15°，则可求∠α； （3）根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出∠1，∠2，∠3关系式可求∠1+∠2+∠3的值. 【详解】（1）∵DE∥AC， ∴∠D＝∠ACD＝30°， 又∵∠BCA＝90°， ∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝60°，即α＝60°； （2）∵DE∥AB， ∴∠E＝∠CFA＝60°， 又∵∠CFA＝∠B+∠BCE， ∴∠BCE＝15°， ∴∠BCD＝∠ECD+∠BCE＝105°，即α＝105°； （3）大小不变，其值为105°， ∵∠ACD+∠CAB＝∠D+∠AFD，∠CAB＝45°，∠D＝30°， ∴∠AFD﹣∠ACD＝15°， 又∵∠1+∠2＝∠AFD，∠3＝90°﹣∠ACD， ∴∠1+∠2+∠3＝∠AFD+90°﹣∠ACD＝90°+15°＝105°. 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 25．（本题12分）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】见解析 【分析】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE． 【详解】图2，AF+BF=2CE仍成立， 证明：过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90° ∴△ACE≌△CBH． ∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． 图3中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G， ∵AC=BC， 可得∠AEC=∠CGB， ∠ACE=∠BCG， ∴△CBG≌△CAE， ∴AE=BG， ∵AF=AE+EF， ∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF， ∴AF-BF=2CE． 【点睛】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限 学科网（北京）股份有限公司 $$