第23章 专题训练(八) 旋转中常见的两种模型构建（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

数学 九年级上册 人教版 四清导航 专题训练(八)　旋转中常见的两种模型构建 第二十三章　旋转 类型之一　手拉手模型 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，求BD的长． 2．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 3．如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上一点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE. (1)线段BG与线段DE有怎样的关系？请写出证明过程； (2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图②情形．则(1)中的结论是否仍然成立，并证明； (3)将原题中正方形改为矩形且使BG⊥DE，连接DG，BE，且AB＝6，BC＝4，CE＝3，CG＝2，求BE2＋DG2的值． 解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明：如图①，延长BG交DE于点O.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∴∠CBG＝∠CDE.∵∠CBG＋∠BED＝∠CDE＋∠BED＝90°，∴∠BOE＝90°，∴BG⊥DE，∴BG＝DE，BG⊥DE (2)成立．证明：如图②，设BG交CD于点H，BG交DE于点O.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.∵∠BHC＝∠DHO，∴∠CDE＋∠DHO＝∠CBG＋∠BHC＝90°，∴∠DOH＝90°，∴BG⊥DE，∴BG＝DE，BG⊥DE (3)BE2＋DG2＝52＋13＝65 类型之二　半角模型 模型特点 AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝∠45° 四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45° 模型展示 解题思路 通过旋转一定角度，使另外两个角拼凑在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等，得出相应的等量关系 基本结论 ①△AED≌△AFE；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2 ①△AEF≌△AEG；②△AGF为等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF 4.如图，在某公园的同一水平面上，通道AB，AC，BC，AE，AD构成了等腰△ABC，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°. (1)试探究通道BD，DE，CE之间的关系； (2)若通道BD＝30 m，DE＝50 m，求通道CE的长． 5．如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点(不与A，B重合)，连接点D，E，并将线段DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连接EF. 探究： 当点E在边AB上，求证：EF＝AE＋CF； 应用： (1)当点E在边AB上，且AD＝2时，则△BEF的周长是____； (2)当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是 _______________________________________． 4 EF＝CF－AE或EF＝AE－CF 解：∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，所以可将△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，如图所示，∴AB＝AE，BD＝CE，∠BAE＝60°.连接BE，则△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝6，∴∠CBE＝∠ABE＋∠ABC＝90°，∴BD＝CE＝ eq \r(BE2＋BC2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10 解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝90°，AC＝AB，所以可将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，如图所示，∴AE＝AD＝4，BD＝CE，∠DAE＝90°.连接DE，则△ADE为等腰直角三角形，∴∠ADE＝45°，DE＝ eq \r(2) AE＝4 eq \r(2) ，∴∠CDE＝∠ADE＋∠ADC＝90°，∴BD＝CE＝ eq \r(DE2＋CD2) ＝ eq \r(（4\r(2)）2＋32) ＝ eq \r(41) 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，如图，可将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，∴由旋转的性质可得CF＝BD，AD＝AF，∠ACF＝ ∠B ＝45°，∠CAF＝∠BAD，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝ 90° ，∠EAF＝∠CAF＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝90°－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE，∴EF2＝CE2＋CF2＝CE2＋BD2.∵AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，AE＝AE，∴△AED≌△AEF，∴DE＝EF， ∴DE2＝CE2＋BD2 (2)由(1)可知通道CE＝ eq \r(DE2－BD2) ＝ eq \r(502－302) ＝40(m) 解：探究：证明：如右图，延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAG＝∠DCF＝90°，∴△DAG≌△DCF(SAS)，∴∠1＝∠3，DG＝DF.∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠EDG＝∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝45°＝∠EDF.∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE(SAS)，∴EF＝EG＝AE＋AG＝AE＋CF 应用：(2)提示：①点E在BA的延长线上时，如图①，EF＝CF－AE；②当点E在AB的延长线上时，如图②，EF＝AE－CF $$