第23章 专题训练(七) 巧用旋转进行计算与证明（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

数学 九年级上册 人教版 四清导航 专题训练(七)　巧用旋转进行计算与证明 第二十三章　旋转 类型之一　利用旋转构造等腰三角形 由对应点到旋转中心的距离相等，容易知道对应点与旋转中心所构成的三角形是等腰三角形． 1．如图，△ABC绕点A逆时针旋转56°得到△AB1C1，则∠AB1B的度数为( ) A．58°　 B．56°　 C．62°　 D．68° C 2．(郑州五中期中改)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A1B1C，若AC⊥A1B1，连接AA1，则∠AA1B1等于( ) A．60° B．50° C．40° D．20° D 3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( ) A．45° B．60° C．70° D．90° D 4．(郸城县期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝117°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C的度数为_________． 21° 5．(一题多解)如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△DEC，设直线CD，AB交于点F，连接AD，当△ADF为等腰三角形时，则旋转角α的度数为______________． 40°或20° 类型之二　利用旋转构造等边三角形 如果旋转角是特殊的60°角，那么对应点与旋转中心所构成的三角形是等边三角形． 6．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° C 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为____． 55 8．(阜新中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是____． 9．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE. (1)求证：AD＝DE； (2)∠DCE的度数为_______； (3)若BD＝1，求AD，CD的长． 90° 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CD，CE. (1)求证：AB＝CD； (2)若BC＝10，∠ABC＝45°，连接BE，求△BCE的面积． 类型之三　利用旋转构造等腰直角三角形 11．(漯河源汇区月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M，M′分别是AB，A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为____． A 13．(大连中考)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝____． 14．【问题解决】阅读下列材料： 小金遇到了这样的一个问题：如图①，O是等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，求∠AOB的度数． 小金的思路是：如图②，构造△ABO′，使△AO′B≌△COB，再用勾股定理的逆定理和等边三角形的性质，求出∠AOB的度数． 解：将线段BO绕点B逆时针旋转60°，得到线段BO′，连接O′A，OO′，∴BO＝BO′，∠OBO′＝… (1)请你按小金的思路将其解答过程补充完整； (2)“如图③，点P为正方形ABCD内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数”．请你根据(1)的解题思路完成： ①给出辅助线作法，并画出对应的图形(不必写出解答过程)； ②直接写出∠APB的度数为_____________． 135° 解：(1)由旋转的性质可得OB＝O′B，∠OBO′＝60°，AO′＝CO＝5，∴△BOO′是等边三角形，∴∠BOO′＝60°，OO′＝OB＝4，∴AO2＋OO′2＝32＋42＝25＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠BOO′＋∠AOO′＝60°＋90°＝150° (2)如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE，连接PE eq \r(2) 解：(1)证明：由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE (3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°.又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2，∴在Rt△DCE中，DC＝ eq \r(DE2－CE2) ＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) 解：(1)证明：由旋转的性质可得AD＝AB，AC＝AE，∠CAE＝60°，∠DEA＝∠ACB＝30°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝EC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠CED＝30°.又∵DE＝DE，AE＝EC，∴△AED≌△CED(SAS)，∴AD＝CD，∴CD＝AB (2)如图，过点A作AF⊥BC于点F，设BF＝x，∵∠ABC＝45°，AF⊥BC， ∴∠ABC＝∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝x. ∵∠ACB＝30°，∠ACE＝60°，AF⊥BC，∴∠BCE＝90°，AC＝2x，CF＝ eq \r(3) x，∴CE＝AC＝2x，∴BC＝BF＋CF＝x＋ eq \r(3) x＝10，∴x＝5 eq \r(3) －5，∴EC＝2x＝10 eq \r(3) －10，∴S△BCE＝ eq \f(1,2) BC•CE＝ eq \f(1,2) ×10×(10 eq \r(3) －10)＝50 eq \r(3) －50 eq \r(10) 12．如图，正方形ABCD的边长为3，点E为CD边上的一点，DE＝1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，则EE′的长( ) A．2 eq \r(5) 　 B．2 eq \r(3) C．4 D．2 eq \r(10) eq \r(2) $$