第23章 专题训练(七) 与相似有关的几何类比拓展探究(选做)（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

数学 九年级上册 华师版 四清导航 专题训练(七)　与相似有关的几何类比拓展探究(选做) 第23章 图形的相似 1 40° 1．(河南中考)(1)问题发现：如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连结AC，BD交于点M.填空： ① eq \f(AC,BD) 的值为____； ②∠AMB的度数为________； (2)类比探究：如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，连结AC交BD的延长线于点M.请判断 eq \f(AC,BD) 的值及∠AMB的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在的直线交于点M，若OD＝1，OB＝ eq \r(7) ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 解：(2) eq \f(AC,BD) ＝ eq \r(3) ，∠AMB＝90°，理由略　(3)①当点C如答图①与点M重合时，同(2)可证得△AOC∽△BOD，进而可求得∠AMB＝90°， eq \f(AC,BD) ＝ eq \r(3) .设BD＝x，则AC＝ eq \r(3) x.∵在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，∴BC＝x－2.∵在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝ eq \r(7) ，∴AB＝2OB＝2 eq \r(7) .又∵在Rt△AMB中，AC2＋BC2＝AB2，∴( eq \r(3) x)2＋(x－2)2＝(2 eq \r(7) )2，解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)，∴AC＝3 eq \r(3) ；②当点C如答图②与点M重合时，同①可得在Rt△AMB中，AC2＋BC2＝AB2，∴( eq \r(3) x)2＋(x＋2)2＝(2 eq \r(7) )2，解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝2，∴AC＝2 eq \r(3) .综上所述，AC的长为3 eq \r(3) 或2 eq \r(3) 2．(武汉中考)【问题提出】如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究 eq \f(AF,AB) 的值． 【问题探究】(1)先将问题特殊化．如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出 eq \f(AF,AB) 的值； (2)再探究一般情形．如图①，证明(1)中的结论仍然成立． 【问题拓展】如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， eq \f(CG,BC) ＝ eq \f(1,n) (n<2)，延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F.直接写出 eq \f(AF,AB) 的值(用含n的式子表示). 解：(1)如图，取AB的中点G，连接DG，∵点D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点D是AC的中点，∴∠DBC＝30°，∵BD＝ED，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴DF⊥AB，∵∠AGD＝∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AF＝ eq \f(1,2) AG，∵AG＝ eq \f(1,2) AB，∴AF＝ eq \f(1,4) AB，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(1,4) 　(2)取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝ eq \f(1,2) AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC(ASA)，∴BH＝EC，∴ eq \f(EB,EH) ＝ eq \f(3,2) ，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴ eq \f(FB,DH) ＝ eq \f(EB,EH) ＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(FB,AB) ＝ eq \f(3,4) ，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(1,4) 【问题拓展】取BC的中点H，连接DH，由(2)同理可证明△DGH≌△DEC(ASA)，∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵ eq \f(CG,BC) ＝ eq \f(1,n) ，∴ eq \f(HE,BC) ＝ eq \f(1,n) ，∴ eq \f(HE,BH) ＝ eq \f(2,n) ，∴ eq \f(HE,BE) ＝ eq \f(2,n＋2) ，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴ eq \f(HE,BE) ＝ eq \f(DH,BF) ＝ eq \f(2,n＋2) ，∵DH＝ eq \f(1,2) AB，∴ eq \f(BF,AB) ＝ eq \f(n＋2,4) ，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(2－n,4) $$