第一章 专题训练(二) 与正方形有关的几个常考模型（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

专题训练(二)　与正方形有关的几个常考模型 数学 九年级上册 北师版 四清导航 模型一　正方形中的“十字架”模型 模型 特点 点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上 点E，F，G分别在正方形ABCD的边AD，CD，BC上 点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边AD，CD，BC，AB上 模型 展示 解题 思路 DF＝AE(或AF＝BE) ⇔△ADF≌△BAE ⇔AF⊥BE AF＝GE⇔ △ADF≌△GME ⇔AF⊥GE HF＝GE⇔ △HNF≌△GME⇔ HF⊥GE 模型二　正方形中过对角线交点的直角模型 模型 特点 O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，直角∠EOF绕点O旋转的过程中两边OE，OF分别交AB，BC于点E，F，交DA，AB的延长线于点G，H 模型 展示 解题 思路 n－1 模型三　正方形中的“外角平分线”模型 模型特点 在正方形ABCD中，点E是射线BC(点B，C除外)上的任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形的外角∠DCG的平分线CF于点F 模型展示 点E在线段BC上 点E在线段BC的延长线上 解题思路 在BA上(左图)或BA的延长线上(右图)截取BH＝BE ⇒ △AHE≌△ECF ⇒AE＝EF 模型四　正方形中的半角模型 模型特点 在正方形ABCD中，∠EAF＝45° 模型展示 点E，F分别在BC，CD上 点E，F分别在BC，CD的延长线上 解题思路 在CB的延长线上(左图)或CB上(右图)截取BG＝DF ⇒ △ABG≌△ADF ⇒△AEG≌△AEF⇒EF＝BE＋DF(左图)或EF＝BE－DF(右图) 1.如图，点E，F分别在边长为6的正方形ABCD的边AB，BC上，且BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH. (1)求证：CE⊥DF； (2)求GH的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°.又∵BE＝CF＝2，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠BCE＝∠CDF，∴∠CDF＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE＝90°，∴∠DHC＝90°，∴CE⊥DF (2)∵AE＝AB－BE＝6－2＝4，∴DE＝ eq \r(AE2＋AD2) ＝ eq \r(42＋62) ＝2 eq \r(13) .又∵由(1)知CE⊥DF，点G为DE的中点，∴HG＝ eq \f(1,2) DE＝ eq \r(13) 2．(驻马店一中期末)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，连接CE，点F在CE上，过点F作CE的垂线，分别交AB，CD于点G，H.若BG＝1，CH＝4，求AD的长． 解：过点G作GM⊥CD于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°＝∠GMH，BC＝CD＝AD，∴四边形BCMG是矩形，∴GM＝BC＝CD，CM＝BG＝1.又∵GH⊥CE，∴∠DCE＝90°－∠FHM＝∠MGH，∴△GMH≌ △CDE (ASA)，∴DE＝HM＝CH－CM＝4－1＝3.又∵E是AD边的中点，∴AD＝2DE＝6 (1)△AOE ≌△BOF或△BOE ≌ △COF ⇒S四边形OEBF＝S△AOB＝ eq \f(1,4) S正方形ABCD； (2)△AOG≌△BOH⇒△OGH是等腰直角三角形 3.如图，将一块含45°角的直角三角尺的直角顶点与正方形ABCD的对角线AC，BD的交点O重合，两条直角边分别与AB边和BC边交于点M，N，连接MN，若AM＝4，CN＝1，则MN＝________________． eq \r(17) 4．将n个边长都为2的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是这些正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积之和为________________． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边AB，BC的延长线上，且∠MON＝90°，OM交BC于点E，ON交CD于点F，连接MN. 求证：EM＝FN； (2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝45°，∠BOC＝90°＝∠MON，∴∠OBM＝∠OCN＝135°，∠BOM＝∠CON，∴△OBE≌△OCF(ASA)，△OBM≌△OCN(ASA)，∴OE＝OF，OM＝ON，∴OM－OE＝ON－OF，即EM＝FN (2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则易得BG＝OG＝2，∠OGE＝90°＝∠MBE.又∵E为OM的中点，∴OE＝ME.又∵∠OEG＝∠MEB，∴△OEG≌△MEB(AAS)，∴BE＝EG＝1，∴OE＝ eq \r(OG2＋EG2) ＝ eq \r(5) ，∴ON＝OM＝2OE＝2 eq \r(5) ，∴MN＝ eq \r(OM2＋ON2) ＝2 eq \r(10) 6.如图，将边长为1的正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，E是边BC(不含点B，C)上的一点，AE⊥EF，且EF交正方形ABCD的外角平分线CF于点F，若点F恰好落在直线y＝－2x＋3上，求点E的坐标． 解：如图，在BA上截取BG＝BE，连接GE，过点F作FH⊥x轴于点H, ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AG＝AB－BG＝BC－BE＝EC，∠BAE＋∠AEB＝90°，∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°.∵CF平分∠DCH，∴∠DCF＝∠FCH＝45°，∴ ∠CFH＝45°＝∠FCH，∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°＝∠AGE，∴FH＝CH.又∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴ ∠BAE＝∠FEC，∴△AGE ≌ △ECF(ASA)，∴AE＝EF.又∵ ∠BAE＝∠FEC，∠ABE＝∠EHF＝90°，∴△ABE≌△EHF(AAS)，∴BE＝FH＝CH，∴BH＝BC＋CH＝1＋BE，∴点F(1＋BE，BE).又∵点F恰好落在直线y＝－2x＋3上，∴BE＝－2(1＋BE)＋3，∴BE＝ eq \f(1,3) ，∴点E的坐标为( eq \f(1,3) ，0) 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，BD，BD与AF，AE分别相交于点M，N. (1)求证：EF＝BE＋DF； (2)若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长． (3)请直接写出线段BN，MN，DM三者之间的数量关系． 解：(1)证明：如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°，∴△ABG≌ △ADF (SAS)，∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，∴∠GAE＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝45°＝∠EAF.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF (2)∵BC＝CD＝6，BE＝2，∴CE＝4，CF＝6－DF，由(1)得EF＝BE＋DF＝2＋DF.又∵在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，∴(2＋DF)2＝42＋(6－DF)2，解得DF＝3 (3)BN2＋DM2＝MN2，理由如下：如图，在AG上截取AH＝AM，连接BH，HN，∵AB＝AD，∠HAB＝∠MAD，AH＝AM，∴△AHB≌△AMD(SAS)，∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADB＝45°.又∵∠ABD＝45°，∴∠HBN＝90°，∴BH2＋BN2＝HN2.又∵AH＝AM，∠HAN＝∠MAN，AN＝AN，∴△AHN≌△AMN(SAS)，∴MN＝HN，∴BN2＋DM2＝MN2 $$