第一章 专题训练(一) 特殊平行四边形的性质与判定（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

专题训练(一)　特殊平行四边形的性质与判定 数学 九年级上册 北师版 四清导航 4 1．(沈阳中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E. (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是______________． 解：(1)证明：∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴▱OCED是矩形 (2)【解析】由(1)可知四边形OCED是矩形，则OD＝CE＝1，OC＝DE＝2.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×4×2＝4 2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的边长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD.又∵BE＝DF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形 (2)∵AC＝4，∴OB＝OA＝ eq \f(1,2) AC＝2，∴OE＝OB＋BE＝2＋1＝3， ∴AE＝ eq \r(OA2＋OE2) ＝ eq \r(22＋32) ＝ eq \r(13) 3．(遵义中考)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上． (1)求证：△ADE≌△CDG； (2)若AE＝BE＝2，求BF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠A＝∠C＝90°，∴Rt△ADE≌Rt△CDG(HL) (2)过点E作EQ⊥DF于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝45°，∴EF＝DE＝ eq \r(AD2＋AE2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∠BEQ＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ.又∵BQ2＋EQ2＝BE2，∴2BQ2＝22，∴EQ＝BQ＝ eq \r(2) ，∴QF＝ eq \r(EF2－EQ2) ＝ eq \r(（2\r(5)）2－（\r(2)）2) ＝3 eq \r(2) ，∴BF＝QF－BQ＝3 eq \r(2) － eq \r(2) ＝2 eq \r(2) 4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，连接BF. (1)求证：四边形BGDF是菱形； (2)求折痕FG的长． 解：(1)证明：根据折叠的性质可得BF＝DF，BG＝DG，∠BFG＝∠DFG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BGF＝∠DFG＝∠BFG，∴BF＝BG，∴BF＝DF＝BG＝DG，∴四边形BGDF是菱形 (2)过点F作FH⊥BC于点H，则∠FHC＝∠FHB＝90°.又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABH＝90°，∴四边形ABHF是矩形，∴AB＝FH＝6，AF＝BH.设AF＝BH＝x，则BF＝DF＝AD－AF＝8－x.在Rt△ABF中，∵AB2＋AF2＝BF2，即62＋x2＝(8－x)2，解得x＝ eq \f(7,4) ，∴BH＝ eq \f(7,4) ，BG＝BF＝ eq \f(25,4) ，∴GH＝BG－BH＝ eq \f(9,2) ，∴FG＝ eq \r(FH2＋GH2) ＝ eq \r(62＋（\f(9,2)）2) ＝ eq \f(15,2) 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC交CB的延长线于点E，CF∥AE交AD的延长线于点F. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)连接OE，若AE＝12，AD＝13，求OE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.又∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴▱AECF是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝AD＝13，AO＝CO，∴BE＝ eq \r(AB2－AE2) ＝ eq \r(132－122) ＝5，∴CE＝BE＋BC＝5＋13＝18，∴AC＝ eq \r(AE2＋CE2) ＝ eq \r(122＋182) ＝6 eq \r(13) .又∵AO＝CO，AE⊥BC，∴OE＝ eq \f(1,2) AC＝3 eq \r(13) 6．(北京中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD.又∵E是AD的中点，∴OE∥FG.又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．又∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴▱OEFG是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10.又∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝ eq \f(1,2) AD＝5，∴AF＝ eq \r(AE2－EF2) ＝3.又由(1)知四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2 7．(平顶山三六联校期中)问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，DE⊥AF. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长． (1)证明：设DE⊥AF于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BAF＋∠DAF＝90°.又∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.又∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD＝AB，∴矩形ABCD是正方形 (2)△AHF是等腰三角形，理由如下：由(1)知△ADE≌△BAF，∴BF＝AE＝BH.又∵∠ABF＝90°，∴AB垂直平分线段HF，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形 类比迁移：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD.又∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，∴AH＝DE＝AF，∠AHB＝∠DEA＝60°，∴△AHF是等边三角形，∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝6＋2＝8 $$