精品解析：山西省实验中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

山西省实验中学 2024-2025学年第一学期第一次月考试题（卷） 高一年级数学 总分值150分 第I卷（客观题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 若正实数，，，构成集合，以中四个元素为边长的四边形可能是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性判断对应四边形的形状. 【详解】由于集合中的元素具有互异性，所以正实数互不相等.结合平行四边形、菱形、矩形均有相等的边，而梯形的四条边可以不相等，可知以中四个元素为边长的四边形可能是梯形，故选A. 【点睛】本题考查集合中元素的特性：互异性，难度较易.互异性：集合中的任意两个元素不相同. 3. 已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a，b∈A}，则B的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将集合B写出，再计算子集个数即可. 【详解】由题意可知，，所以B的子集的个数是16， 故选：A. 4. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】利用文氏图，列式求解. 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 5. 已知集合，，若中有两个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合，再由中有两个元素，列出关于的不等式组，从而可求得结果. 【详解】因为，，且中有两个元素， 所以或， 解得或， 所以实数a的取值范围是或. 故选：C 6. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 7. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项. 【详解】由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 故选：D. 8. 设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：当时，集合 ∴所有的偶子集为：，，，， ∴当时，集合所有的偶子集的容量之和为 故选D 点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 10. 已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据作差法判断A，D选项，根据不等式的性质判断B选项，特殊值法判断C选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选:ABD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 12. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 第II卷（主观题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知命题P：，，则命题P的否定是__________________. 【答案】， 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题直接写出答案. 【详解】由全称命题的否定可得，命题P的否定：，. 故答案为：， 14. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简两个集合，再求这两个集合的交集即可. 【详解】提示：由，则是偶数，故； 再由，则是奇数且不小于，即， 故． 故答案为：. 15. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】∵集合M={x|m x m+},N={x|n- x n}，且M、N都是集合{x|0x1}的子集 ∴根据新定义可知：M的长度为，N的长度为， 当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端， 故M∩N的长度的最小值是． 故答案为：． 16. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】 充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 【解析】 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】略 18. 已知全集． （1）求； （2）求． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】集合B中，绝对值去掉得到，然后与集合A进行并补运算.先算补集，然后与集合P求交集. 【小问1详解】 由，可得， ， ，． 【小问2详解】 ， ． 19. 已知，若，求a的取值范围． 【答案】或. 【解析】 【分析】分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得. 【详解】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 20. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 21. 已知集合． （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，集合，当时，集合； （3） 【解析】 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； 【小问2详解】 ：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； 【小问3详解】 中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 22. 已知或. （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知若命题是真命题，则或. 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以或⫋或， 则解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2024-2025学年第一学期第一次月考试题（卷） 高一年级数学 总分值150分 第I卷（客观题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若正实数，，，构成集合，以中四个元素为边长的四边形可能是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 3. 已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a，b∈A}，则B的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 4. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 5. 已知集合，，若中有两个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 7. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 12. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（主观题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知命题P：，，则命题P的否定是__________________. 14. 已知集合，，则______． 15. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______． 16. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 18. 已知全集． （1）求； （2）求． 19. 已知，若，求a的取值范围． 20. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 21. 已知集合． （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 22. 已知或. （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $