精品解析：山西省晋城市第一中学校2025届高三上学期第五次调研考试（9月）数学试题

晋城一中2024—2025学年高三年级第一学期第五次调研考试试题 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂､写在答题纸上. 第I卷（选择题：共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的实部为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2. 集合，，，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 7 B. -7 C. D. 5. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 6. 已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ） 参考数据：. A. B. C. D. 8. 在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的四个进项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么. B. 如果，，那么. C. 如果，，，那么. D. 如果内有两条相交直线与平行，那么. 10. 已知，双曲线C：，则（ ） A. 可能是第一象限角 B. 可能是第四象限角 C. 点可能在C上 D. 点可能在C上 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数为奇函数 C. 当时，函数恰有两个零点 D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则 第Ⅱ卷（非选择题：共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 在中，若，则______. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 四､解答题：本题共77分，解答题应写出文宇说明､证明过程和演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2． （1）若，求； （2）若，求． 16. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． （1）若为的焦点，求证：； （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程． 18. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 19. 已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 . （1）求实数 的值; （2）若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值; （3）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明: 附:ln2 ≈ 0.693. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋城一中2024—2025学年高三年级第一学期第五次调研考试试题 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂､写在答题纸上. 第I卷（选择题：共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的实部为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】将复数的分子分母同乘以分母的共轭复数，化简整理即得. 【详解】由，可得的实部为2. 故选：C. 2. 集合，，，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解. 【详解】解不等式，可得， 所以，整数的取值有、、， 又因为集合，， 则，即集合中的元素个数为. 故选：B. 3. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 设与的夹角为，则，因为， 所以，即与的夹角为. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. 7 B. -7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求，再由两角和的正切可求. 【详解】因为，故， 故，而，故，故， 而，故，所以， 故，故， 故选：D. 5. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 6. 已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解. 【详解】， 因为的图象关于点对称， 所以， 故，即， 当，即时，函数取得最小值， 因为在上没有最小值， 所以，即， 由解得，故，得. 故选：B 7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ） 参考数据：. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将已知数据代入求得的值，再代入即可得解. 【详解】由题意可得，，，，， 代入得，得出； 则当管道壁的厚度为时，， 则 . 故选：B， 8. 在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角的关系，再用角的三角函数表示的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角的三角函数值，再利用角的关系，求. 【详解】因为， 又由余弦定理：，所以， 所以. 由正弦定理得：， 所以或（舍去），故. 因为，所以. 由正弦定理：. 所以. 因为，所以. 设，. 则， 由， 由， 所以在上单调递增，在上递减， 所以当时，有最大值. 即当时，的面积最大. 此时 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的四个进项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么. B. 如果，，那么. C. 如果，，，那么. D. 如果内有两条相交直线与平行，那么. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由立体几何知识对选项逐一判断 【详解】对于A，由线面垂直的性质知A正确 对于B，由面面平行的性质知B正确 对于C，若，，，可得或，而位置关系不确定，故C错误 对于D，由面面平行的判定定理知D正确 故选：ABD 10. 已知，双曲线C：，则（ ） A. 可能是第一象限角 B. 可能是第四象限角 C. 点可能在C上 D. 点可能在C上 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得，即在第三象限或第四象限，分情况讨论得解. 【详解】根据题意，可得，即，即且， 所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确； 当在第三象限时，有，，， 双曲线方程为，当即，时，方程为， 所以点在双曲线上，故D正确； 当在第四象限时，有，，， 双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数为奇函数 C. 当时，函数恰有两个零点 D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC，利用裂项相消及累加求和判断D. 【详解】易知， 同理， 对A, 先减后增，故A错误； 对B, 为奇函数，故B正确； 对C, ,则在单调递增， 在单调递减，即在单调递增，在单调递减， 又， ， 故函数恰有两个零点，故C正确； 对D,易知，令，则， ， , …………………….. , 则， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D. 第Ⅱ卷（非选择题：共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可. 【详解】由， 且， 得， 整理得， 解得（舍）或， 所以． 故答案为：. 13. 在中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得和，设为线段上靠近的四等分点，得到，设，求得，即可求解. 【详解】由，可得， 即，可得，所以， 又由，可得，即， 设为线段上靠近的四等分点，则， 设，则， 所以，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】当为正偶数时，不符合题意，当为正奇数时，只需研究 时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值可解. 【详解】当为正偶数时， 当时，，不符合题意，所以为正奇数， 则当时，恒成立， 只需研究 时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，因为此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，又因为为正奇数， 所以的最大值为7. 故答案为：7 【点睛】思路点睛：分为奇数、偶数进行讨论，之后采用分离参数的方法求参数的最值. 四､解答题：本题共77分，解答题应写出文宇说明､证明过程和演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再用三角形面积公式可解得的值，在中，由余弦定理可求出的值，继而可求出； （2）利用与的互补关系，在和中运用余弦定理，结合题意可得的值，由面积公式可得，再由余弦定理可得，从而可得的值，由的范围即可求解. 【小问1详解】 因为点是边的中点，所以． 而， 由，，解得． 在中，由余弦定理，， 解得，则． 【小问2详解】 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 而，，， 所以，解得． 又，得， 在中，由余弦定理，， 得， 所以， ， 则． 16. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明:∵，由勾股定理得：， 又正方形中，且，平面 ∴平面， 又∵面， ∴平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面； （2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知是二面角的平面角 作于，则 且由平面平面，平面平面，面 所以，面 取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系 ， 则 ∴ 又，知的一个方向向量是 设面法向量，则 取，得 又面一个法向量为， ∴ 设平面与平面所成锐二面角为，则 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． （1）若为的焦点，求证：； （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程． 【答案】（1）证明如下： 法一： 由题可知，， 设，， 则，． 因为，故， 解之得，． ， ． ． 法二： 由题可知，， 设点，因为，故点在圆上， 又因为点也在上，联立与得 ． 解之得． 因为，故． 故，． ． ． （2）． 【解析】 【分析】（1）将转化为(坐标表示),从而求出点的坐标即可解答；或者由，可看作是以为直径的圆与抛物线交点，从而求出的坐标即可解答； （2）由，易得，即，所以点必在中垂线上，联立直线与抛物线方程，再结合即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，故． 所以点必在中垂线上． 方法一： 设，直线的方程为，，． 将代入 得： ，，． 因为点在中垂线上，故． 所以，即，左右两边同时除以得，解得：或，又因为 所以，． 因为，所以即． 所以，，，． 所以直线的方程为 即． 方法二： 设，直线的方程为，，， 将代入 得： ，，． 因为点必在中垂线上，且, 所以点为的中点，故，． 因为，所以即． 所以，，． 所以直线的方程为． 即． 18. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】（1）， （2）分布列： X 0 1 2 3 P （3）公平，理由：不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 【解析】 【分析】（1）依题意可得随机变量服从二项分布，即可得出期望值，依据二项式性质可得时，最大. （2）写出的所有可能取值，求出对应概率即可求得分布列； （3）根据题意可求得，可知游戏规则是公平的. 【小问1详解】 依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是， 当时，最大. 【小问2详解】 记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，Y可取.由事件相互独立， 则. ； ； ； 故分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问3详解】略 19. 已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 . （1）求实数 的值; （2）若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值; （3）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明: 附:ln2 ≈ 0.693. 【答案】（1） ， （2） （3） 因为曲线与与曲线与有唯一交点，且关于对称， 并分居两侧， 所以曲线的上的点到曲线上的点的最小距离，且此时这两点只能为， 假设函数与函数的图象关于直线对称， 则点关于的对称点在上， 点关于的对称点在上， 因为，所以与重合，与重合， 所以是函数与函数的图象的唯一对称轴，所以和分别关于直线对称， 设，其中， 所以， 即， 又因为， 即， 所以为方程的根，即的零点为， 因为， 所以在单调递增， 故，， 所以，令， 则，所以在单调递增， 所以 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则，则,利用导数可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，点在圆，再证直线与圆和曲线均相切，结合直线与圆的位置关系求解； （3）由对称性可知和分别关于直线对称，设，其中，所以，令，求导得到的单调性，进而证得. 【小问1详解】 因为，所以，又因为，所以， 解得，所以在处的切线方程为:， 所以在处的切线方程为:， 所以，解得. 【小问2详解】 （法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为， 斜率分别为，所以，设且， 所以, 令，则， 当时，设函数，则， 所以在单调递增，所以，即， 所以， 所以在均单调递减，且， 当时，，所以在单调递增， 所以.当时，;当时，， 所以，当点坐标为时，最大为. 同理，函数与的图象关于直线对称， 且也关于直线对称，所以最大为， 所以与之和的最大值为. （法二）由（1）知:，点在圆上. 下面证明：直线与圆和曲线均相切， 因为圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 即，除点外，圆上的点均在直线下方, 又因为，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即，除点外，曲线上的点均在直线上方. 所以，当点坐标为时，最大为， 同理，函数与的图象关于直线对称， 且也关于直线对称，所以最大为， 综上知:与之和的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是得到的表达式，从而有，则为方程的根，再利用导数和零点存在性定理即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $