精品解析：四川省绵阳市东辰学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷

绵阳市东辰学校初2022级2024年秋数学知识清扫（贯1） 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．先根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到，求出，即可得到一元二次方程为，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程为， 解得． 故选：C 4. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，存在某个x的值，使得， 即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握方法是解题的关键． 5. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题． 【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，， ∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q， ∴，， ∴，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：A． 7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．由一元二次方程定义得出二次项系数；由方程有两个不相等的实数根，得出“”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：D． 8. 某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设该公司2023年利润增长率为，则该公司2022年利润增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该公司2023年利润增长率为，则该公司2022年利润增长率为， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即该公司2023年利润增长率为， 故选：B． 9. 若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边的关系，学会分类讨论求出符合的所有情况是解此题的关键. 首先利用因式分解法解二元一次方程，然后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后相加就是三角形的周长． 【详解】解：， ， 解得，， 两个实数根恰好是等腰三角形的两边长， 等腰三角形的三边为2、2、4或2、4、4， 2+2=4，不能构成三角形， 所以三角形三边为2、4、4， △ABC的周长为10． 故选：B． 10. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 11. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 12. 已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将u转化为，然后再根据进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， 当且仅当， 即，， 或，时，等号成立， ∴的最小值为， ∴最小值为：， 即， ∵ ， 当且仅当时， 即，， 或，时等号成立， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为，再确定的范围． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 一元二次方程的根是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键．根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得 ， 因式分解得， 所以或， 解得：或． 故答案为：或． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为m，则1+m=-2， 解得m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x1•x2=． 15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用是方程的一个实数根，可得，再利用根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故答案为：2026． 16. 设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____． 【答案】9. 【解析】 【分析】由韦达定理得出α+β=2，αβ=1﹣m，将|α|+|β|=6左右两边同时平方，利用完全平方公式对方程进行转化， 转化为关于α+β、αβ的形式，分类讨论，解出m的值即可. 【详解】由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m， ∵|α|+|β|=6， ∴（|α|+|β|）2=36， 即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36， α2+β2+2|α·β|=36， （α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36， 4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m |=36， 当1﹣m≥0时，方程无解； 当1﹣m＜0时，方程的解为m=9. 故答案为9. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记常见的转换公式是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】把一元二次方程转化为二次函数抛物线，结合图像和x的取值范围，解答a的取值范围． 【详解】解：把关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，转化为抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∵抛物线经过点（0，﹣4），﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴抛物线开口向上，即a＞0，如图， ∵x＝﹣1时，y＞0，即a+a+1﹣4＞0，解得a＞； x＝2时，y＜0，即4a﹣2a﹣2﹣4＜0，解得a＜； x＝3时，y＞0，即9a﹣3a﹣3﹣4＞0，解得a＞； ∴实数a的取值范围为＜a＜3． 故答案为＜a＜3． 【点睛】此题考查的知识点：一元二次方程的根、二次函数图像、二次函数图像与x轴交点的取值范围；一元二次方程和二次函数图像的结合是解答问题的关键． 18. 若实数、、满足，，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到b+c=1，bc=a-1，则利用根与系数的关系可把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解，根据根的判别式的意义得到△=1-4（a-1）≥0，然后解不等式即可． 【详解】由题意可得：b+c=1，bc=a-1， ∴把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 三、解答题（共90分） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D，且．已知A（m，1），AE＝4BD． （1）填空：m= ；k= ； （2）求B点的坐标和一次函数的解析式； （3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点，求m的值． 【答案】（1）4，4；（2）．（3）=9或1 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义即可求得k的值，把点A的坐标代入解析式即可求出m的值； （2）由AE＝4BD即可确定点B的横坐标，进一步即可求得点B坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （3）先设出平移后的直线解析式，再和反比例函数解析式联立组成方程组，然后根据方程的判别式△=0即可求出m的值. 【详解】解：（1）由反比例函数k的几何意义知：，因为图象在第一、三象限，所以k=4， ∵点A（m，1）在上，∴m=4. 故答案为4， 4； （2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，AE＝4BD，A（4，1）， ∴AE＝4，BD＝1， ∴xB＝1，∴yB＝4， ∴B（1，4）， 将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，解得，k＝﹣1，b＝5， ∴； （3）设直线AB向下平移后的解析式为， 联立：，即，整理得： ∵一次函数与反比例函数图象有唯一交点， ∴△＝0，即， 解得：=9或1. 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，重点考查了待定系数法求函数的解析式和两个函数的交点问题以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握相关的基本知识是解题关键. 21. 某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件． （1）y与x的函数关系式是_______． （2）该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价． 【答案】（1） （2）每件运动衫的售价为元 【解析】 【分析】本题考查一元函数，一元二次方程的应用， （1）根据“销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件”列关系式即可； （2）根据总利润单利润销售量列方程解题即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 解得：，， ∵网店决定降价薄利多销， ∴， 这时售价为元， 答：每件运动衫的售价为元． 22. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． （1）若，求的最小值________；若，求的最小值________． （2）已知且，求的最小值是? （3），且，不等式恒成立，求的范围? （4）已知且，求的最小值? 【答案】（1）4，6 （2） （3） （4）4 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； 【小问2详解】 解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 23. 如图，点D在的边上，以为直径作的外接圆，记为，． （1）若的半径为11，，求的值； （2）求证：是的切线； （3）已知平分，交于点E，交于点F．若，，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接，则， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． 则， ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由，可得，再求解即可； （2）连接，则，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再由圆周角定理可得，利用等量代换可得，再根据切线定理即可得证； （3）连接，设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，可得，再由，可得，在中，利用勾股定理列方程求得，可得，根据角平分线的定义可得，证得，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵的半径为11， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为r，则， ∴，． 由（2）知，是直角三角形，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴． ∵， ∴． 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴． 如图，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程、锐角三角函数，熟练掌握相关定理是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． （1）求两点的坐标； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点做轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）当线段最长时点的坐标为； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键． （1）把代入抛物线，可求出抛物线为，当，即可求出两点的坐标； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，可求出，即可求解； （3）过作交抛物线于点，作垂直平分线交轴于点，延长，交抛物线于点，根据函数的性质即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴抛物线， 又∵抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧）， ∴当时，， 整理得：， ∴， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴当线段最长时点的坐标为． 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 过作交抛物线于点，如图： ∴点的纵坐标为， 则 解得：，， ∴点， ②由①得，作垂直平分线交轴于点，延长，交抛物线于点，如图： ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得：， ∴， ∴点， 设解析式为且过， ∴， 解得：， ∴直线解析式为 ∴联立， 解得：或， ∴， 综上可知：点的坐标为或． 25. （1）如图，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若 求：①的长；②的长； （3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴； （2）①② （3） 【解析】 【分析】根据两个角相等可得，得 ，整理得证； （2）①连接，利用两个角相等可得，得，代入计算即可； ②根据两个角相等得，得，代入计算得的长，从而解决问题； （3）连接根据两边成比例且夹角相等可得，得，在上取点M，使，利用基本模型得，则， 将的最小值转化为求的长，进而解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）①连接， ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴， 得， ∴， ∵ ∴， ∴ ②由①同理得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点E为的中点，四边形为菱形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在上取点M，使 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点三点共线时，最小，即最小， 连接，过点D作，交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转性质、菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似的基本模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市东辰学校初2022级2024年秋数学知识清扫（贯1） 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 5. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 8或10 10. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 11. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 12. 已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 一元二次方程的根是_____． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 16. 设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是_____． 18. 若实数、、满足，，，则的取值范围是________． 三、解答题（共90分） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D，且．已知A（m，1），AE＝4BD． （1）填空：m= ；k= ； （2）求B点的坐标和一次函数的解析式； （3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点，求m的值． 21. 某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件． （1）y与x的函数关系式是_______． （2）该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价． 22. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． （1）若，求的最小值________；若，求的最小值________． （2）已知且，求的最小值是? （3），且，不等式恒成立，求的范围? （4）已知且，求的最小值? 23. 如图，点D在的边上，以为直径作的外接圆，记为，． （1）若的半径为11，，求的值； （2）求证：是的切线； （3）已知平分，交于点E，交于点F．若，，，求的值． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． （1）求两点的坐标； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点做轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. （1）如图，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若 求：①的长；②的长； （3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $