5.3 一元一次方程的应用 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 第1课时 几何图形问题 授课老师：孙老师 第3节 一元一次方程的应用 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： (1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了? (2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢? 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决几何图形问题 1.图形的等积变化 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 活动引入，合作探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 容积不变，但直径(半径)和高有变 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 解得 x=14.52 答：新包装的高度为14.52cm 1.列方程的关键 找出问题中的等量关系 2.解决实际问题的基本步骤 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答. 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 2.图形的等长变化 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? ②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化? 长方形的周长(或长与宽的和)不变 ①本题涉及哪些量? 铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积. 例题分析 ④如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为 x m，则长方形的长可怎么表示? 试用含 x 的代数式在下面图中表示出来. ③题中有怎样的等量关系? 等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度) x m (x+1.4)m x m (x+0.8)m (1) (2) 解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m. 根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10 解得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? x m (x+1.4)m 解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m. 根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10 解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m， 长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2) (1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2) 此时(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积增大0.33m2 (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? x m (x+0.8)m (3)设正方形的边长为x m 根据题意，得 4x=10 解得 x=2.5 正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)， 比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2) (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 所列方程的两边分别表示 长方形的周长和铁丝的长度 列方程的思路 先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程. 思考　 在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量? 列方程的思路是什么? 　总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大. 针对练习 一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm2，求这个梯形的上底和下底的长度. 解：设梯形的上底为x cm，则下底为(x+6)cm xcm (x+6)cm 8cm (x+x+6)×8=88 解得 x=8 x+6=14 答：梯形的上底为8cm，下底为14cm. 【选自教材P149 随堂练习】 1.直径为30cm、高为50cm 的圆柱形瓶里装满了饮料，现将饮料倒入底面直径为10cm 的圆柱形水杯，刚好倒满30杯，则水杯的高度是多少? 解：设水杯的高度为x cm 解得 x=15 答：水杯的高度为15cm 知识延伸，巩固升华 针对训练 一个长方形的周长是40cm，若将长减少6cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则长方形的长、宽各为多少厘米? 解：设长方形的长为 x cm，则宽为 cm. x-6=+2 解得 x=14 所以=6. 答：长方形的长为14cm，则宽为6cm. *利用一元一次方程解决一般几何图形问题 (1)有一块边长为4cm 的正方体形橡皮泥，要用它来捏一个长、宽分别为8cm，2cm 的长方体橡皮泥，求它的高. 解：设高为 x cm 43=8×2x 解得 x=4 答：高为4cm (2)如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为6cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？ 解：设正方形的边长为 x cm 6x=8(x-6) 解得 x=24 答：每一个长条的面积为144cm2 6×24=144 (3)用一根120cm 长的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长是宽的2倍，则这个长方形的长、宽分别为多少？ 解：设长方形的宽为x cm，则长为2x cm. 2(x+2x)=120 解得 x=20 答：长方形的宽为20cm，长为40cm 2×20=40 *培优点 利用一元一次方程解决拼接图形问题 如图，周长为68的长方形ABCD 被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD 的面积为多少？ 解：设小长方形的宽为x，则长方形ABCD的长为5x，小长方形的长为，则长方形ABCD的宽为+x= . 2×5x+2× =68 解得 x=4 答：长方形ABCD 的面积为280. 5×4=20 ×4=14 ×14=280 1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4 cm和8 cm，高分别为39 cm和 10 cm. 先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中. 倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米? 小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有x cm. 列方程 π×22×(39-x)= π×42×10. 解得x=-1. 请你对他的结果作出合理的解释. 【选自教材P154 习题5.3 第1题】 随堂训练，课堂总结 解：由题意可知，第一个容器的体积为 22×39×π = 156π cm2 第二个容器的体积为 42×10×π = 160π cm2 第二个容器的体积大于第一个容器的体积，因此将第二个容器装满水后再倒入第一个容器中，水会溢出， 即方程 π×22×（39－x）= π × 42×10的解小于0. 2.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面 积的3倍还多100 m2，这两块试验田的面积共2900 m2，两块试验田的面积分别是多少? 解：设第二块试验田的面积是 x m2， 则第一块试验田的面积是（3x + 100）m2 根据题意，得 x + 3x + 100 = 2900 解得 x = 700 所以 3x + 100 = 2200 答：第一块试验田的面积是 2200 m2， 第二块试验田的面积是 700 m2 【选自教材P154 习题5.3 第3题】 3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 解：设正方形的边长为 x cm 根据题意，得 4x = 5（x － 4） 解得 x = 20 所以每一个长条的面积为 4×20 = 80(cm2) 答：每一个长条的面积为 80 cm2. 【选自教材P154 习题5.3 第4题】 4.如图，某种卷筒纸的外直径为14 cm，内直径为6 cm，每层纸的厚度为0.02 cm. 假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14)? 【选自教材P154 习题5.3 第5题】 解：设卷筒纸的宽度为 x cm 卷筒纸的体积为 = 40πx 卷筒纸的总长度为：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m) 答：卷筒纸的总长度为62.8m 课堂小结 利用一元一次方程解决一般几何图形问题 一般几何图形问题的大致类别 解决方案 等体积变形 以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解 等面积变形 以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解 等周长变形 以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解 第五章 一元一次方程 第2课时 古代数学问题 授课老师：孙老师 第3节 一元一次方程的应用 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决古代数学问题 1.《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？ (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ 活动引入，合作探究 已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距； 未知量：人数与物价. 等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数 (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ (2)设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示并完成下表. (3)根据等量关系， 列出方程 设人数为x. 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________，物价为_________钱. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x-3 x 7x 7x+4 8x-3=7x+4 7 7 53 思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 物价 y 出钱总数 人数 y+3 y y-4 根据等量关系， 列出方程 设物价为 y. 根据等量关系，列出方程：______________　 = 2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百， 盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少？ (1)问题中的等量关系是怎样的？ 每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数. (2)设人数为x，补充下列表格 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x 出钱总数 金价 400x 400x-3400 x 300x 300x-100 设合伙数为x. ，则金价可表示为_________________ 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________人，金价为_________钱. (400x-3400)钱或(300x-100)钱 400x-3400=300x-100 33 33 9800 300×33-100=9800 设金价为y钱，则人数可表示为____________ 根据等量关系，列出方程：______________　 思考　 (1)设金价为y钱，能列出怎样的方程？ 有关量 每人出400钱 每人出300钱 金价 y 出钱总数 人数 y+3400 y y+100 (2)《九章算术》给出了一种算法： 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数. 此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？ 第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数 第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数 ① ② ①和②两边分别相减得到 两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差 所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差. 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数， 针对练习 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两. 有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两) 解：设一共x人，则银子可表示为(7x+4)两或(9x-8)两 根据题意列方程得 7x+4=9x-8 解得 x=6 7×6+4=46(两) 答：有6人，有46两银子. 【选自教材P150 随堂练习】 1.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？” 题目大意：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘. 共有多少人？ 多少辆车？ (1)问题中的等量关系是怎样的？ 一辆车乘的较多人数×(车数－剩余空车数)＝一辆车乘的较少人数×车数＋无车可乘的人数 知识延伸，巩固升华 (2)设车辆数为x，补充下列表格 有关量 每3人共乘1车 每2人共乘1车 车辆数 x 乘车的人数 总人数 3(x-2) 3(x-2) x 2x 2x+9 解：设共有x辆车 根据题意列方程得 3(x-2)=2x+9 解得 x=15 3×(15-2)=39(人) 答：共有39人，有15辆车. 针对训练 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？ 解：设该店有客房x 间 则根据题意，得 7x+7＝9(x-1) 解得 x＝8 7×8+7=63 答：该店有客房8间，63名客人. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？ 译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？ 多少辆车？设共有x 人，可列方程( ) *根据“盈不足”问题列方程 A. B.-9 C. D. A 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？ 多少匹小马？ 培优点　根据古代数学问题列方程 解：设有x匹大马，则有(100-x)匹小马 根据题意，得 3x+ (100-x)=100 解得 x=25 100-25=75 答：有25匹大马，75匹小马. 1.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣. 若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1 h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣. 该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ 解：设该物流中转站配置了x套分拣设备 根据题意，得 3.5x+4＝4x+1 解得 x＝6 答：该物流中转站配置了6套分拣设备 【选自教材P155 习题5.3 第6题】 随堂训练，课堂总结 2.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问：家数、牛价各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱. 家数、牛价各是多少？ 解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱 根据题意列方程得= 解得 x=126 =3750(钱) 答：一共有126家，牛价为3750钱. 【选自教材P155 习题5.3 第7题】 课堂小结 古代数学问题 数学问题 （一元一次方程） 表格分析 寻找等量关系 第五章 一元一次方程 第3课时 行程问题 授课老师：孙老师 第3节 一元一次方程的应用 假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉了.乌龟出发多久后追上兔子？ 引用故事，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决行程问题 1.追及问题 　小明每天早上要到距家1000m 的学校上学.一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？ 追上小明时，距离学校还有多远？ (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 问题引入，合作探究 已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间； 未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程. (1)问题中有哪些已知量和未知量？ (2)分析追及的过程，用一个图直观表示问题中各个量之间的关系. 家 学校 小明先出发的路程 爸爸追小明的路程 爸爸追小明期间小明走的路程 小明先出发的路程＋爸爸追小明期间小明所走的路程＝爸爸追小明的路程 (3)根据题意列出方程 设爸爸追上小明用了x min.当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图所示. x = 4. 80x + 80×5=180x 答：爸爸追上小明用了4min. 小明： 爸爸： 根据题意，得 80×5 180x 100x = 400 化简，得 80x 解得 追上小明时，距离学校还有多远？ 解： 180×4 = 720（m） 1000－720 = 280（m） 所以，追上小明时，距离学校还有 280 m. 1000m ？ 180×4 针对练习 小明和小刚步行的速度分别为4.5 km/h和3.5 km/h. 他们分别从A，B两地同时出发.如果相向而行，那么0.5h相遇；如果他们同向而行(小刚在前，小明在后)，那么小明追上小刚需要几小时？ 解：设小明追上小刚需要x h. 根据等量关系，可列出方程 (4.5+3.5)×0.5＋3.5x＝4.5x 解得 x＝4. 答：如果他们同向而行，那么小明追上小刚需要4h. 归纳总结 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： (1)对于同向同时不同地的问题，如图所示 甲的行程-乙的行程＝两出发地的距离 甲出发地 乙出发地 追及地 甲的行程 乙的行程 (2)对于同向同地不同时的问题，如图所示 甲的行程=乙先走的路程＋乙后走的路程. 甲、乙出发地 追及地 甲的行程 乙后走的路程 乙先走的路程 小明和小华两人在400m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置. (1)如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 2.环形跑道问题 思考：题目中涉及的量、等量关系 解：设小华用了x min追上小明 根据等量关系，可列出方程： 260+260x=300x 解得 x=6.5 答：小华用6.5 min追上小明 等量关系： (1)小华的路程=小明1min的路程＋小华追小明期间小明的路程 等量关系： (2)小华的路程+小华跑步期间小明的路程＝跑道一圈的长－小明1min的路程 解：设小华起跑后x min两人首次相遇， 根据等量关系，列出方程： 260x+300x=400-260 解得，x=0.25 答：小华起跑后0.25min两人首次相遇. 归纳总结 (1)环形跑道问题： 设v甲>v乙，环形跑道长s m，经过t s，甲、乙第一次相遇 ①同时同地同向而行： v甲t- v乙t=s ②同时同地背向而行： v甲t+v乙t=s (2)用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 实际问题 数学问题（一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解(一元一次方程的解) 寻找等量关系 抽象 解方程 验证 解释 回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了那些经验？ 针对练习 甲、乙二人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300 m 才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长. 解：设乙的速度为x m/min，则甲的速度为2.5x m/min 根据等量关系，可列出方程 2.5x×4-4x = 4x+300 解得 x =150 2.5×150=375， 4×150+300＝900 答：甲的速度为375m/min，乙的速度为150m/min， 环形场地的周长为900m. 《孙子算经》记载：“今有长木，不知长短，引绳度之，余绳若干，屈绳度之，余绳二尺五寸，绳再屈量之，不足二尺五寸，木长几何？”大意是：用一根绳子去度量一根长木，余绳较多，将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，木长多少尺？ 设木长x尺，则可列方程为( ) A A．2(x+2.5) ＝4(x-2.5) 　　　　　B．2x-2.5＝4(x-2.5) C．2x+2.5=4x-2.5 D．2(x+2.5) ＝4x-2.5 知识延伸，巩固升华 如图，设木长x 尺. 因为将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，所以绳子长为2(x+2.5)尺. 因为将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，所以绳子长为4(x-2.5)尺，所以方程为2(x+2.5) ＝ 4(x-2.5). 故选A. 针对训练 今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺. 问：几何？(选自《孙子算经》) 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺. 这根木材有多长？ 解：设绳子的长度为x尺 根据等量关系，列出方程： x-4.5=+1 解得 ，x=11，x-4.5=11-4.5=6.5(尺) 答：这根木材长6.5尺. 【选自教材P152 随堂练习】 *行程问题中的顺逆航行问题 航行工具 等量关系 船 顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度； 逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度； 顺水速度－逆水速度＝2×水流速度 飞机 顺风速度＝飞机在无风时的速度＋风速； 逆风速度＝飞机在无风时的速度－风速； 顺风速度－逆风速度＝2×风速 一架飞机飞行在两城市之间，风速为24km/h，顺风飞行需要2h50min，逆风飞行需要3h.求两个城市之间的飞行路程. 解法一(直接设未知数)：设两个城市之间的飞行路程为x km，则顺风飞行的速度为 km/h，逆风飞行的速度为 km/h 根据等量关系列方程得 -24= +24 解得 x=2448 答：两个城市之间的飞行路程为2448km 解法二(间接设未知数)：设飞机在无风时的速度为x km/h，则顺风飞行的速度为(x+24)km/h，逆风飞行的速度为(x-24)km/h 根据等量关系列方程得 2(x+24)=3(x-24) 解得 x=840 答：两个城市之间的飞行路程为2448km. 3×(840-24)=2448 一架飞机飞行在两城市之间，风速为24km/h，顺风飞行需要2h50min，逆风飞行需要3h.求两个城市之间的飞行路程. 培优点　行程问题中的分类讨论思想 A，B两地相距70km，甲从A地出发，每小时行15km，乙从B地出发，每小时行20km. (1)若两人同时出发，相向而行，则经过几小时两人相遇？ 解：设经过x h两人相遇 根据等量关系，列出方程： 15x＋20x=70 解得 x=2 答：经过2h两人相遇. ①当两人相遇前，设y h后两人相距10km. 根据等量关系，列方程：15y＋20y＝70-10，解得 y = 分两种情况讨论： ②当两人相遇后，设z h后两人相距10km. 根据等量关系，列方程：15z＋20z＝70+10，解得 y = 答： h或 h后两人相距10km. A，B两地相距70km，甲从A地出发，每小时行15km， 乙从B地出发，每小时行20km. (1)若两人同时出发，相向而行，则经过几小时两人相距10km？ 1.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6 m. (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ 解：设经过x 秒两人相遇 根据等量关系，列出方程： 4x＋6x=100 解得 x=10 答：10秒后两人相遇. 【选自教材P155 习题5.3 第8题】 随堂训练，课堂总结 解：设经过x 秒小强能追上小彬 根据等量关系，列出方程： 4x＋10=6x 解得 x=5 答：经过5秒小强能追上小彬. 1.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6 m. (2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬？ 2.古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了. (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决. 【选自教材P155 习题5.3 第9题】 解：（1）设丢番图去世时x岁 根据等量关系，列出方程： + x+ x+5+ x+4=x 解得 x=84 答：丢番图去世时84岁 （2）求丢番图结婚时的年龄 设丢番图结婚时的年龄y岁 根据等量关系，列出方程： 84+ 84 + =y 解得 y=33 答：丢番图结婚时的年龄33岁. 解决行程问题的基本步骤 问题的已知条件 画出线段图 找出等量关系 列方程并求解 回答 同向追及问题 同地不同时：甲路程=乙路程 同时不同地：甲路程+路程差=乙路程 相向相遇问题 甲路程+乙路程=总路程 课堂小结 第五章 一元一次方程 北师大版七年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 课程结束 $$