第十三章 单元专题复习 将军饮马 课件 -2024-2025学年人教版八年级数学上册

将军饮马问题求两条线段和最小值 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说："白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。"诗中隐含着一个有趣的数学问题。传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？ l 军营 河流 会议 A B 如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C’B， 但是AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。 这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流L相当于线段AA'的中垂线，所以AC=A’C。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优的饮水点。 1.如图，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 将军饮马的两种基本模型 对应练习1：如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，点F为对角线AC上一点，则DF＋EF的最小值为_____． 对应练习1：如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，点F为对角线AC上一点，则DF＋EF的最小值为_____． 2.如图，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 对应练习2　如图，在菱形ABCD中，AB＝8，E是BC边的中点，P是菱形ABCD内一动点，若△PBE的面积是6，则PB＋PE的最小值是______． B’ 小结：解决此类问题的关键是确定动点的位置，通常将在同侧的定点通过轴对称转化到异侧，利用两点之间线段最短进行求解. 培根曾说过“数学是打开科学大门的钥匙”，希望大家认真学数学，并爱上数学！ 3.“一定点＋两动点”周长最小值问题：在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小． 解决思路：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，交OA，OB于点M，N. 将军饮马问题其他模型： 4.“两定点＋两动点”周长最小值问题：在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM周长最小． 解决思路：分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N. 5.三动点周长最小值问题：在AB，AC，BC上分别找一点D，E，F，使得△DEF的周长最小． 解决思路：过点C作CD⊥AB于点D，分别作点D关于AC，BC的对称点D′，D″，连接D′D″即可． 6.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 解决思路：过点A作AB⊥ON于点B，则PA+PB=AB就是PA与点P到射线OM的距离之和的最小值。 谢谢！ $$