精品解析：贵州省遵义市仁怀市第六中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（9月）数学试题

仁怀市第六中学2024年秋季学期第一次月考试题 高二数学 分值：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要（ ） A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元 3. 用斜二测画法画出的边长为a的水平放置的正方形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 6. 如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ） A. 12 cm B. cm C. 18 cm D. cm 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据…判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 不共线3点确定一个平面 C. 过一条直线的平面有无数多个 D. 两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 11. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______． 13. 已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为______. 14. 公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设复数，当为何值时， （1）是实数？ （2）是纯虚数？ 16. 已知的周长为10，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的余弦值． 17. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且，. （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的全面积. 18. 已知， 其中i为虚数单位，且，复数的虚部减去它的实部所得的差等于. （1）求复数ω的共轭复数； （2）求复数ω的模. 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁怀市第六中学2024年秋季学期第一次月考试题 高二数学 分值：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出即可判断作答. 【详解】根据题意知，， 所以在复平面内，复数对应的点在第一象限. 故选：A 2. 某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要（ ） A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin150°=150(m2)，则购买草皮的费用为150a元. 故选：C. 3. 用斜二测画法画出的边长为a的水平放置的正方形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法及平行四边形面积公式可得答案. 【详解】由斜二测画法知直观图的面积. 故选：B. 4. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 【详解】由题可知， 所以， 由余弦定理， 所以． ， ． 5. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两条直线的共面或异面的位置空间及线面位置关系，两个平面的位置关系可判断各个命题的真假. 【详解】 对于AB：空间中的两条直线a，b的位置关系有共面和异面两种情况，共面时有相交和平行两种情况， 若直线与要么相交，要么不相交，故A正确； 当a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面， 故B是正确； 对于C：直线、平面，要么与平行，要么在内,还有可能直线与平面相交，故C是错误的； 对于D：空间两个平面与的位置关系为相交或平行，空间两个平面要么相交，要么不相交，故D正确. 故选：C. 6. 如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ） A. 12 cm B. cm C. 18 cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的构成的直角三角形的斜边长． 【详解】如图所示，在圆柱的侧面展开图中， 的长为底面圆周长的一半，即cm， 蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程 cm. 故选：D. 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二倍角余弦公式求，再根据余弦定理求． 【详解】因为， 由余弦定理可得. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据…判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球的体积公式可知，将四个选项分别化简得到，通过比较近似值可得结果. 【详解】球的体积，. ，. 记，；；； ，；，. ，，，，，中，最接近. 更精确. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以A正确，B错误， ，C准确， 所以，D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 不共线3点确定一个平面 C. 过一条直线的平面有无数多个 D. 两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面的公理，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，当点在直线上时，这个点和这条直线不能确定一个平面，A错误； 对于B，不共线3点确定一个平面，正确； 对于C，过一条直线的平面有无数多个，正确； 对于D，两个平面的公共点组成的集合，是一条直线，D错误， 故选：BC 11. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数量积的定义和余弦定理计算得到和，可判断A、B，由同角三角函数的关系和正弦定理可判断C，由两角和差公式可判断D. 【详解】由得，又，所以. 由余弦定理，得. 又，所以. 由得或， 因为，所以，.故A、B正确． 在中，， 由正弦定理，得. 因为，所以C是锐角， 因此.故C错误． 易知.故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】，进而根据题意得，再解不等式组即可得答案. 【详解】解：， 因为复数在复平面上所对应的点在第二象限 所以，解不等式组得 故答案为： 13. 已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出正四棱台的高，根据棱台体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm， 如图：设四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，故正四棱台的体积为， 故答案为： 14. 公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先得到，然后在中，由余弦定理得求出，可求出，即可求出. 【详解】 如图，O为楼脚，OP为楼高，则，， 所以，又因为，，所以， 所以，所以，所以 又因为，所以在中， ， 所以， 故.，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设复数，当为何值时， （1）是实数？ （2）是纯虚数？ 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数及实数的概念和对数函数的定义域，列出关于参数的方程组，求解方程组即可； （2）根据纯虚数的概念和对数函数的定义域，列出关于参数的方程组，再求解方程组即可. 【详解】（1）要使复数为实数， 需满足 解得或， 即当或时，是实数． 要使复数为纯虚数， 需满足 解得， 即当时，是纯虚数． 16. 已知的周长为10，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件转化为边的关系，结合周长即可求出； （2）将条件代入余弦定理，即可求出的余弦值. 【小问1详解】 根据正弦定理：化为， 由题意，，解得 【小问2详解】 由结合（1）得：则 = 17. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且，. （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的全面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理计算出，可得出，然后利用勾股定理可计算出，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积. 【详解】（1）在中，. 在中，，， 侧棱长； （2），，. 【点睛】本题考查正四棱锥的相关计算，涉及正四棱锥的侧棱长以及表面积的计算，计算时要充分分析正四棱锥的结构特征，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知， 其中i为虚数单位，且，复数的虚部减去它的实部所得的差等于. （1）求复数ω的共轭复数； （2）求复数ω的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算规则化简复数，再结合共轭复数概念计算；（2）根据复数模长公式计算即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以 所以ω的实部为，虚部为. 由已知得 ，所以解得 又，所以即，则. 【小问2详解】 ==. 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解； （2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 又，所以， 即. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $