3.3 探索与表达规律课件 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第三章 整式及其加减 第一课时 授课老师：孙老师 3.3 探索与表达规律 课堂导入 如图是生活中常见的日历，你对它了解吗？ 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 知识点 日历中的数学规律 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)横向相邻的数之间的关系是什么？ 后一个数比前一个数多1. 用字母表示： a-1，a，a+1 a-1+a+a+1＝3a 横向相邻三个数的和是中间的数的3倍. 新知探究 例1 观察日历，请你回答以下问题： 3 知识点 日历中的数学规律 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (2)纵向相邻的数之间的关系是什么？ 下边一个数比上边一个数多7. 用字母表示： a-7，a，a+7 a-7+a+a+7＝3a 纵向相邻三个数的和是中间的数的3倍. 新知探究 4 知识点 日历中的数学规律 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (3)斜下方三个相邻的数之间的关系是什么？ 用字母表示： a-8，a，a+8 a-8+a+a+8＝3a 斜下方三个相邻数的和是中间的数的3倍. 右下一个数比左上一个数多8. 新知探究 5 知识点 日历中的数学规律 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (4)斜上方三个相邻的数之间的关系是什么？ 左下一个数比右上一个数多6. 用字母表示： a+6，a，a-6 a+6+a+a-6＝3a 斜上方三个相邻数的和是中间的数的3倍. 新知探究 6 新知探究 知识点 日历中的数学规律 例2 日历图的橙色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (2+18)+(3+17)+(4+16)+(9+11)+10＝90. 这9个数的和等于正中间的数的9倍． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 7 新知探究 知识点 日历中的数学规律 这9个数的和等于正中间的数的9倍． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 这个关系对其他这样的方框成立吗? 8 新知探究 知识点 日历中的数学规律 a (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) ＝ ____. 规律：方框中九个数之和＝9×正中间的数． 9a 2 3 4 9 10 11 16 17 18 a-1 a+1 a-7 a+7 a-8 a-6 a+6 a+8 9 归纳： 知识点 日历中的数学规律 a-8 a-7 a-6 a-1 a a+1 a+6 a+7 a+8 如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a． 任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间的数的3倍. 如果设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a. 新知探究 新知探究 思考1：能否使方框中9个数的和为144? 180呢? 知识点 日历中的数学规律 解：假设方框正中间的数为a，框中9个数的和为9a. 使得9a=144，所以a=16. 在图中能找到这样的方框，所以能使框中9个数的和为144. 11 新知探究 思考1：能否使方框中9个数的和为144? 180呢? 知识点 日历中的数学规律 当9a=180时，a=20. 在图中不能找到这样的方框，所以不能使框中9个数的和为180. 12 新知探究 思考2：在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? 知识点 日历中的数学规律 纵列相邻两数相差7 解：假设这个月的第一个星期日是m号， 则m+(m+7)+(m+7+7)+(m+7+7+7)+ (m+7+7+7+7)=80， 所以m=2， 所以这个月的第一个星期日是2号. 13 新知探究 知识点 日历中的数学规律 思考3：如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 7+13+14+15+21＝70 ＝14×5. 十字形框中5个数的和等于正中间的数的5倍． 14 新知探究 知识点 日历中的数学规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 思考4：如果将方框改为H形框，你能发现哪些规律？ 10+12+17+18+19+24+26＝126 ＝18×7. H形框中7个数的和等于正中间的数的7倍． 15 新知探究 知识点 日历中的数学规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 思考5：你还能设计其它形状的包含数字规律的数框吗？ 8+10+16+22+24＝80 ＝16×5. X形框中5个数的和等于正中间的数的5倍． 16 随堂练习 1.观察如图所示的日历，解答问题： 用一个方框去框图中的4个数(如图中阴影框所示)，若最小的数为x，则其他三个数由小到大分别为 　 x ，＋ 7，  　 x . x＋1　 x＋7　 x＋8 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 17 随堂练习 2.图1是生活中常见的日历，先观察，再解答： (1)图2是另一个月的日历，a表示该月中某一天，b，c，d是该月中其他3天，则b，c，d与a的关系：b＝______，c＝______，d＝______．(用含a的式子填空) a－7 a＋1 a＋5 图1 图2 18 随堂练习 (2)用一个长方形框框出日历中的三个数(图3中的阴影)，如果这三个数的和等于51，那么这三个数各是多少？ 解：设中间的数为x，则上面的数为 x－7，下面的数为x＋7. 根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＝51， 所以x＝17. 所以这三个数分别是10，17，24. 图3 19 随堂练习 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 37 ...... 3.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表. (1)十字形框中的五个数之和与中间数 15有什么关系？ 答：十字形框中的五个数之和是中间数15的5倍. 解：5+25+13+17+15＝75 ＝15×5. 20 随堂练习 (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ 解：十字形框中的五个数分别为a，a-10，a-2，a+2，a+10， a+a-10+a-2+a+2+a+10=5a， 它们的和是5a. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 37 ...... 21 随堂练习 解：十字形框中的五数之和一定是5的倍数. 而2022不是5的倍数，所以十字形框中的五数之和不能等于2022. 十字形框中的五数之和能等于2025，此时中间数为405，其余四个数分别为395 ,403 ,407 ,415. (3)十字形框中的五数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 37 ...... 22 日历中的规律 在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍. 如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a. 任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍. 设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a. 课堂小结 第三章 整式及其加减 第二课时 授课老师：孙老师 3.3 探索与表达规律 课堂导入 小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数. 我的结果是93 那你心里想的是78. 你知道小明是怎么算出来的吗? 课堂导入 得到的结果比原两位数大15. 如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为________ . 5(2a+3)+b 10a+b 小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数. =10a+b+15 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 例1 观察下列一组数: ，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是( ) A. B. C D. 27 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 ，… ① ② ③ ④ ⑤ 第n个数 若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系. 解： 28 例1 观察下列一组数: ，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是( ) A. B. C D. 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 D 29 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 例2 观察等式： 设n为正整数，则第n个等式可表示为 　·(n＋1)＝ ． 若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律. 30 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 n n ① ② ③ 第n个式子 31 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 ① ② ③ 第n个式子 n n n+1 n+1 32 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 ① ② ③ 第n个式子 n n n+1 n+1 n+1 (n+1) 33 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 ·(n＋1)＝＋(n＋1)　 例2 观察等式： 设n为正整数，则第n个算式可表示为 　·(n＋1)＝ ． 34 归纳： 数与式的规律问题: 从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、纵向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化规律. 知识点1 数与式的变化规律 新知探究 归纳： 数与式的规律问题: 若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律； 若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律； 若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系． 知识点1 数与式的变化规律 新知探究 新知探究 知识点1 数与式的变化规律 例3 如图，填在各方格中的三个数之间都具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　C　） A．48 B．56 C．63 D．74 C 新知探究 知识点2 图形的变化规律 例4 按如图方式摆放餐桌和椅子，回答下列问题： （1）1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐多少人？ （2）按照图中的方式继续排列餐桌，完成下表： 桌子张数 1 2 3 4 5 6 可坐人数 6 10 14 18 22 26 38 新知探究 知识点2 图形的变化规律 方法一 因为每增加一张桌子，就可多坐4个人， 所以摆n张桌子可坐： [6＋4(n－1)]个人． 即6＋4(n－1)＝4n＋2． （3）摆n张桌子时可坐多少？用代数式 表示； 39 新知探究 知识点2 图形的变化规律 方法二 每张桌子的两侧各坐2人共4人， n张桌子可坐4n人，再加上两头可坐的两人， 共(4n＋2)人． 方法三 每张桌子的一侧可坐2人，n张桌子的一侧可坐2n人， 另一侧也可坐2n人，再加上两头各1人， 共2n＋2n＋2＝（4n＋2）(人)． （3）摆n张桌子时可坐多少？用代数式 表示； 40 新知探究 知识点2 图形的变化规律 照此规律搭下去，回答下列问题： （1）搭 8个这样的三角形需要多少根火柴棒？ 3+(8﹣1)×2=17. 例5 用火柴棒按如图的方式搭三角形： … 解：方法一 41 新知探究 知识点2 图形的变化规律 3×8﹣(8﹣1)=17. 例5 用火柴棒按如图的方式搭三角形： … 方法二 照此规律搭下去，回答下列问题： （1）搭 8个这样的三角形需要多少根火柴棒？ 42 新知探究 知识点2 图形的变化规律 解：3+(n﹣1)×2=2n+1 (或3n﹣(n﹣1)=2n+1). 答：搭n个这样的三角形需要(2n+1)根火柴棒. 例5 用火柴棒按如图的方式搭三角形： … 照此规律搭下去，回答下列问题： （2）搭 n个这样的三角形需要多少根火柴棒？ 43 归纳：图形的变化规律问题: 观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证. 知识点2 图形的变化规律 新知探究 随堂练习 1.找规律，并写出第n个单项式： (1)3，6，9，12，15，…，第n个单项式为 　3n　 ； (2)－，，－，，－，…，第n个单项式为 ； (3)1，4，9，16，25，…，第n个单项式为 　n2　 ． 3n　 n2　 45 随堂练习 A．38 B．52 C．66 D．74 D 2.如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　D　） +2 +4 +2 +4 +2 +4 8 10 2×4 4×6-2 6×8-4 8×10-6 46 随堂练习 3.下列是按一定规律排列的单项式：x，－2x2，3x3，－4x4，5x5，－6x6，…，第n个单项式是（　C　） A．1n+1·n·xn B．(－1)n+1·nxn+1 C．(－1)n+1·nxn D．(－1)n·nxn C 47 随堂练习 4.观察如图所示的“蜂窝图”．     则第n个图案中的“ ”的个数是________.(用含有n的代数式表示)． 3n＋1 4+3（n-1） 48 随堂练习 5.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是(　　) A．2n＋2　　 B．4n＋4　 　C．4n－4　　 D．4n D 4 4+4 4+4+4 49 探究规律的一般步骤 (1)从具体的问题出发,观察各个数量之间或图形之间的特点以及相互的变化特点; (2)通过类比、计算等方法,从不同的角度、层次发现其相似或相同点; (3)由此及彼、合理联想、大胆猜想、总结规律; (4)通过计算验证规律. 课堂小结 第三章 整式及其加减 北师大版七年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 课程结束 $$