精品解析：四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年四川省内江六中高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，等于（ ） A. B. M C. N D. 2. 若集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 函数f(x)=cosx(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数的图象，则m的值可以为（ ） A. B. C. － D. － 4. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 棱台各侧棱延长后交于一点 D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 10. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式的解集是，则_________. 13. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 14. 设函数，其中，，若对任意的恒成立，有下述四个结论 ①； ②对任意的有成立； ③的单调减区间是，； ④存在经过点的直线与函数的图象不相交． 其中所有正确结论的编号为________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 16. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在33℃的保鲜时间是24小时， （1）求值； （2）求该食品在22℃的保鲜时间. 17. 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． （1）求m的值及用x表示S； （2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 18. 将A地区使用滴滴出行的10000名乘客的年龄情况统计如图所示. （1）求这些乘客中年龄在的乘客人数； （2）求这些乘客的平均年龄（同一组数据用该组区间的中间值代替）； （3）现按照分层抽样方法从这10000名乘客中年龄在，的乘客中随机抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有1人年龄在上的概率. 19. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧． （1）求曲线段函数表达式； （2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长； （3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，用表示平行四边形休闲区面积，并求时的面积值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年四川省内江六中高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，等于（ ） A. B. M C. N D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据并集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以 故选：D 2. 若集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可 【详解】因为， 所以 故选：D 3. 函数f(x)=cosx(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数的图象，则m的值可以为（ ） A. B. C. － D. － 【答案】A 【解析】 【分析】根据求导公式求出，由三角函数图象的平移变换可得，结合诱导公式即可得出结果. 【详解】， 而f(x)=cosx(xR)的图象按向量(m,0)平移后得到， 所以， 故可以为． 故选：A 4. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率． 【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和， 基本事件总数， 点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有： ，，，，，，，，共8个， 则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为． 故选：B． 5. 如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 【详解】设的中点为，的中点为，则，，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的数量积，通过利用三角函数的性质以及向量的坐标和数量积公式. 6. 已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、、、，分析出为等边三角形，四边形为正方形，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】取线段的中点H，连接、、、，如图所示： 由球的几何性质可知平面，平面 因为，，则是边长为2的等边三角形， 因为H为的中点，则，且， 同理可知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因为平面， 所以，同理 因为平面，所以，所以四边形为正方形， 故，所以球O的半径为， 因此，球O的表面积为. 故选：A 7. 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，结合几何意义分析出最小值的最优解，建立等式，根据基本不等式求解最值． 【详解】作出可行域，如图所示： 由得，图中 其中目标函数，即，由图可得： 当直线经过点时，目标函数取得最小值， 即， ， 所以.当且仅当时取得等号. 故选：B 【点睛】此题考查不等式相关知识，涉及线性规划和基本不等式知识，需要熟练掌握二元一次不等式组表示的平面区域，结合图象分析最优解，利用基本不等式求解最值需要注意考虑等号成立的条件. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围. 【详解】由于，所以的定义域为， 所以， ， ， 所以是奇函数， 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由得， 即， 所以， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解. 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 棱台的各侧棱延长后交于一点 D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断. 【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误； 对于B项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确； 对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确； 对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确. 故选：BCD. 10. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 对A,B利用特殊值即可判断；对C，D利用函数的定义逐一验证即可. 【详解】解：对A，当时，，故A错误； 对B，当时，，故B错误； 在C中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即任取，总有，故C正确； 在D中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即任取，总有，故D正确． 故选：CD． 11. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可. 【详解】不妨令 ， 对任意都有在上单调递增， 对所有恒成立， 对所有恒成立， 对所有恒成立，令 故只需解之： 故选：AD 【点睛】函数单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式的解集是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的根的关系可得系数. 【详解】∵不等式的解集是， ∴且，是的两根，∴， 解得，∴, 故答案为:-5 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的根的关系,属于基础题. 13. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可计算出，再由共轭复数定义及模长公式即可得. 【详解】易知 ， 所以，可得. 故答案为：5 14. 设函数，其中，，若对任意恒成立，有下述四个结论 ①； ②对任意的有成立； ③的单调减区间是，； ④存在经过点的直线与函数的图象不相交． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由题设可得对任意恒成立，结合基本不等式有，则，结合正弦型函数的性质判断各项的正误. 【详解】，又， 由题意对任意的恒成立，且，， 所以对任意的恒成立，即， 所以恒成立，又，即， 所以，故， ①：，，正确； ②：令，，解得，，当时，所以是的一个对称中心，正确； ③：由，，所以，正确； ④：由题意得，要使过的直线与的图象不相交，则此直线与轴平行，又的振幅为，所以直线必与的图象有交点，错误； 所以正确结论的编号为①②③． 故答案为：①②③ 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1） （2）480 （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【小问1详解】 由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. 【小问2详解】 由图知，评分在频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. 【小问3详解】 由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 16. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在33℃的保鲜时间是24小时， （1）求的值； （2）求该食品在22℃的保鲜时间. 【答案】（1）； （2）小时 【解析】 【分析】（1）由题设可得，即可求参数k； （2）由（1）得，将代入求即可. 【小问1详解】 由题设，则，可得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 当，则， 所以小时. 17. 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． （1）求m的值及用x表示S； （2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 【答案】（1），（）； （2）当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和. （2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度. 【小问1详解】 设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，， 则，解得， 显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： （）. 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元． 18. 将A地区使用滴滴出行的10000名乘客的年龄情况统计如图所示. （1）求这些乘客中年龄在的乘客人数； （2）求这些乘客的平均年龄（同一组数据用该组区间的中间值代替）； （3）现按照分层抽样的方法从这10000名乘客中年龄在，的乘客中随机抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有1人年龄在上的概率. 【答案】（1）3000 （2）41.6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率乘以总数即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）由列举法列举所有基本事件，即可结合古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 这些乘客中年龄在的乘客人数为人， 【小问2详解】 这些乘客年龄的平均数为. 【小问3详解】 由题意得，年龄在，的分别有4人和2人， 其中年龄在的乘客记为，，，，年龄在的乘客记为，， 故随机抽取2人，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中满足条件的为，，，，，，，，，共9种， ∴所求概率. 19. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧． （1）求曲线段的函数表达式； （2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长； （3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，用表示平行四边形休闲区面积，并求时的面积值． 【答案】（1）； （2）千米； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用五点作图法思想求出曲线段的函数表达式. （2）由（1）的结论，结合特殊角的三角函数值求出点的坐标，再求出长. （3）由（1）的结论求出，用表示出点的坐标，再求出平行四边形面积关系即可求解. 【小问1详解】 依题意，，周期，解得， 又当时，，则，而，于是， 所以曲线段的解析式为. 【小问2详解】 由（1）及已知得，，即， 由，得，则，解得，即点， 所以，即景观路长为千米. 【小问3详解】 由（1）知，，而，则， 如图，作轴于点， 则，，， 于是的面积， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$