精品解析：安徽省亳州市蒙城县部分学校2024-2025学年九年级上学期9月联考数学试题

2024—2025学年度九年级上学期第一次月考 数学试卷 满分150分，时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：A．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B．，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C．，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意； D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为．根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：C． 3. 二次函数的开口向下，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，根据二次函数的开口向下得到，进而即可解答． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴，即， ∴a的值可以是2． 故选：A 4. 关于反比例函数的说法正确的是（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 其图象关于轴对称 D. 若点在其图象上，则 【答案】D 【解析】 【分析】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：，故A错误； ，图象位于一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B错误； 反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误； 将代入，得，即，故D正确， 故选：D 5. 将二次函数化成的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键．根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答． 详解】解：． 故选：A 6. 若抛物线与轴只有一个交点，则方程的根是（ ） A. 2 B. 2或 C. 4 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，解一元二次方程． 根据抛物线与轴只有一个交点，得到，求得k的值，代入方程后求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴，即， 当时，方程为， 解得； 当时，方程为， 解得； ∴方程的根是2或． 故选：B 7. 抛物线的开口向上，顶点在第四象限，且不过第三象限，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向上，可判定，根据顶点在第四象限， 得到，确定b的符号，根据图象不过第三象限，抛物线与y轴的交点，为原点或原点以上，可得到，根据抛物线的性质可作出判断解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的开口向上， ∴，函数有最小值；在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵顶点在第四象限， ∴， ∴， ∵图象不过第三象限， ∴抛物线与y轴的交点，为原点或原点以上， ∴， ∴， 故A错误，符合题意， B，C，D正确，不符合题意， 故选：A． 8. 已知点和点均在抛物线上，当时，等于（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，理解点A与点B的位置关系是解题的关键． 根据点A与点B的纵坐标相同可得点A，B关于抛物线的对称轴对称，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， ∵点和点在抛物线上， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴， 当时，． 故选：B 9. 已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数及二次函数图象与性质，解题的关键是弄清楚“君子数对”的定义．根据“君子数对”的定义结合有关函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】①当时，对应函数值的取值范围是， 则函数图象过点或点， 对于反比例函数（）， 当函数图象过点时，则有两个点符合要求，即 此时有两个“君子数对”； 当函数图象过点时，由于反比例函数（）的图象关于直线对称，而也关于直线对称，则有无数个点符合要求， 此时有无数个“君子数对”； 故①正确； ②当时，，当时，， 又的对称轴是直线，且， 当时，随的增大而减小，且， 是二次函数的“君子数对”， 故②正确； ③， 又的对称轴是直线，且， 当时，且 不是二次函数的“君子数对”， 故③错误； 故选：D 10. 点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A. 点一定在二次函数图象上 B. C. 当最小时，的最小值是3 D. 若两个函数图象在第四象限有交点，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】二次函数， 当时，， 点一定在二次函数图象上，故选项A正确； 二次函数， 该函数的顶点坐标为， 点的坐标为， 点在上，轴， 点N的坐标为， ， 故选项B正确； 当最小时，，此时 点的坐标为，点的坐标为， 点在轴上，点M，N在y轴的左侧， 关于y轴对称点为 ，则直线与y轴的交点即为点P，此时的值最小， ， 的最小值是，选项C错误； 二次函数， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，， 该函数图象与轴交于点， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 将代入，得，解得：， 将代入，得，解得：， 两函数图象在第四象限有交点， ， 故选项D正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 12. 如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系．抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可． 【详解】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为， ∴方程的解是． 故答案为：． 13. 如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱的高度为：米， 故答案为：4． 14. 如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，，______； （2）若的面积为2时．______． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，反比例函数的比例系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质，矩形的性质． （1）由的坐标为，可得，得出，可得，将代入，得，即反比例函数关系式为，再由矩形的性质得出轴，，将代入，得，可得，，从而求出结果； （2）设，可得，，，再由的面积为2，可得的面积为4，再由三角形面积公式可得，最后求解即可． 【详解】解：（1）的坐标为， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数关系式， 四边形矩形， 轴，， 将代入，得， ，， ， 故答案为：2； （2）设， 四边形矩形， ， 点D的纵坐标为， 将代入，得， ， ， 轴， 点F的横坐标与点C的横坐标相同，即， 将代入，得， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得：， 故答案为：6 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知一抛物线的顶点是，且过原点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数的图象与x轴的交点坐标，利用顶点式求出函数解析式是解题关键． （1）设该抛物线的表达式为，直接利用顶点式代入函数解析式求出即可； （2）令，得，求解方程，即可求出抛物线与轴的另一个交点． 【小问1详解】 设该抛物线的表达式为， 抛物线的顶点是， 该抛物线的表达式为， 抛物线过原点，即过， ， ， 该抛物线的表达式为，即：， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 令，得， 解得：， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 16. 已知二次函数． （1）画出这个二次函数的图象； （2）设二次函数图象与轴交于点，与轴交于点、（在左侧），求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】此题主要考查画出二次函数的图象，三角形面积的求法． （1）列表，描点，连线，即可作出函数的图象； （2）利用（1）的相关结论，进而可求三角形的面积． 【小问1详解】 解：列表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 描点，连线，作出函数的图象如下： ； 【小问2详解】 解：观察图象得，， ∴，， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 18. 如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求n的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象可求不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴点， 根据题意得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求关于的函数表达式； （2）若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）至时间长为小时，至时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【小问1详解】 解：，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：至时间长为小时，至时间长为6小时， 将代入得； 将代入得． ∴汽车行驶速度的范围为． 20. 某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求出抛物线的函数解析式； （2）当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 【答案】（1） （2）足球能射入球门，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）把解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式中进行求解即可； （2）求出时y的值，判断即可． 【小问1详解】 解：∵当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米． ∴设抛物线的函数解析式 将代入中，得 ，解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． 六、（本题满分12分） 21. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求的长； （3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】（1） （2） （3）花圃至少需要围栏米． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； 【小问3详解】 解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 七、（本题满分12分） 22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数关系，如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保鲜期为20天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否在保鲜期内销售完这批蜜柚？请说明理由． 【答案】（1）， （2）蜜柚定价为元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是元 （3）能销售完这批蜜柚 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式得出最大利润； （3）求出在（2）中情况下，即 时的销售量，求得天的总销售量，再进行比较. 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为 ，将和代入，得 ，解得 ， ∴与的函数关系式为， 由得， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：设每天销售获得的利润为元， 则： ， ∴当时，取得最大值，最大值为， 因此，该品种蜜柚定价为元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：能. 理由：按（2）中获得最大利润的方式进行销售时，每天销售量(千克). ∵保质期为天， (千克)，且 ， ∴能销售完这批蜜柚. 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线：的顶点横坐标与抛物线：的顶点横坐标互为相反数． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上， （ⅰ）若，且直线与抛物线、均只有一个交点，求直线的表达式； （ⅱ）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的解析式得到顶点坐标，从而得到抛物线的顶点横坐标，根据抛物线顶点的坐标公式即可求解； （2）（i）设过点，的直线的解析式为，把点A、B的坐标代入，可得，根据直线与抛物线：只有一个交点，得到方程中，求出h的值，从而得到直线的解析式，证明直线与抛物线只有一个交点即可得到所得直线的表达式为所求； （ii）把点A、B的坐标分别代入抛物线和中，得到，将代入后，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点横坐标与抛物线的顶点横坐标互为相反数， ∴抛物线：的顶点横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）设过点，的直线的解析式为， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线：只有一个交点， ∴在方程，即中， 解得， ∴直线的解析式为， 由直线：与抛物线：， 得， 整理，得， ∵， ∴直线：与抛物线：只有一个交点，满足题意． ∴直线的表达式为． （ii）∵点在抛物线：上， ∴， ∵点在抛物线：上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度九年级上学期第一次月考 数学试卷 满分150分，时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（） A B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的开口向下，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 任意实数 4. 关于反比例函数的说法正确的是（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 其图象关于轴对称 D. 若点在其图象上，则 5. 将二次函数化成的形式为（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线与轴只有一个交点，则方程的根是（ ） A. 2 B. 2或 C. 4 D. 4或 7. 抛物线的开口向上，顶点在第四象限，且不过第三象限，则下列选项错误的是（ ） A. B C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值有最小值 8. 已知点和点均在抛物线上，当时，等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 10. 点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A. 点一定在二次函数图象上 B. C. 当最小时，的最小值是3 D. 若两个函数图象第四象限有交点，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 12. 如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是______． 13. 如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为______米． 14. 如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，，______； （2）若的面积为2时．______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知一抛物线的顶点是，且过原点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求抛物线与轴的另一个交点坐标． 16. 已知二次函数． （1）画出这个二次函数的图象； （2）设二次函数图象与轴交于点，与轴交于点、（在左侧），求的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求关于的函数表达式； （2）若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 20. 某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求出抛物线的函数解析式； （2）当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 六、（本题满分12分） 21. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求的长； （3）若想使花圃是与墙垂直一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 七、（本题满分12分） 22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数关系，如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保鲜期为20天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否在保鲜期内销售完这批蜜柚？请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线：的顶点横坐标与抛物线：的顶点横坐标互为相反数． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上， （ⅰ）若，且直线与抛物线、均只有一个交点，求直线的表达式； （ⅱ）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$