精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

平罗中学2024-2025学年度第一学期一轮复习摸底考试试题 高三数学 一、单选题（每小题5分，共40分) 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 4. 已知函数则函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 60 D. 62 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ） A. （0，2022） B. （2022，+∞） C. （2023，+∞） D. （2022，2023） 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有（ ） A. 函数在区间上的最大值为，最小值为1 B. 函数在定义域上单调递增 C. 曲线在点处的切线方程是 D. 若，则 11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设，则的大小关系是______． 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______. 14. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为___________. 四、解答题 15. 已知数列的首项为1，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图： （1）估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （2）根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，） （3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2024-2025学年度第一学期一轮复习摸底考试试题 高三数学 一、单选题（每小题5分，共40分) 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】由题意可知：在内单调递增，可知在内单调递增， 且， 可知函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是. 故选：A. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知函数则函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可. 【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示. 故选：C． 5. 若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 60 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得，又，令，得解. 【详解】因为函数是R上的奇函数，所以， 又函数是偶函数，则，令， . 故选：B. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减, 故选：A 7. 若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解. 【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 8. 已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ） A. （0，2022） B. （2022，+∞） C. （2023，+∞） D. （2022，2023） 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据对数函数恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误. 【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确； 对于B：若不等式的解集为, 则的两根为，且, 根据韦达定理有: ，解得，所以,故B错误； 对于C：对数函数恒过, 所以恒过，故C错误； 对于D：因为, 所以, 当且仅当,即时等式成立， 故的最小值为9，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有（ ） A. 函数在区间上的最大值为，最小值为1 B. 函数在定义域上单调递增 C. 曲线在点处的切线方程是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，再求出最值，以及在点处的切线方程，判定选项ABC，作差构造新函数，借助导数研究最值判定选项D即可. 【详解】对于A，由，则， 当时，有，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，又， ，故A正确； 对于B，由A选项，可判断B错误； 对于C，，，所以在点处的切线方程为，故C正确； 对于D，因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以在上单调递增，则， 即，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】函数极值点问题转化为方程根的问题研究.A项转化为二次方程有两不等正根求参数范围；BC项由韦达定理与参数范围可得；D项，先将所求式子整理变形，再利用韦达定理将整体代入消元，转化为求解函数的范围即可. 【详解】A项，函数有两个极值点， 则至少有两正根. ，， 设， 当时，，即没有实数根，不符合题意； 当时，由题意知方程有两不等正根，设两根为， 则有，解得. 即的取值范围是为，故A错误； BC项，因为是方程的两个不同的实数根， 所以，，故BC正确； D项， ， 设， 因为在上单调递减，所以. 且当，故. 即，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设，则的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 所以， 故答案为：． 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得．将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得. 【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 则两个切点都在直线上，设两个切点分别为,，,， 则两个曲线的导数分别为，， 由导数的几何意义可知，则， 且切点在各自曲线上， 则将代入①可得，，③ ③②可得， 故答案为：2． 14. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为___________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据新定义，先确定函数的单调性，然后判断方程组（增函数）或（减函数）是否有解． 【详解】对于①，函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“倍值区间”； 对于②，函数 为减函数，若存在“倍值区间”，则有得：，，,例如：，.所以函数存在“倍值区间”； 对于③，若函数存在“倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“倍值区间”； 对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“倍值区间”. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解，把问题转化为方程组或是否有解问题，考查了转化与化归思想． 四、解答题 15. 已知数列的首项为1，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 . 16. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可； （2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可. 【小问1详解】 函数是偶函数， 故， 即，，故. 【小问2详解】 ，故， 若函数与的图象有且只有一个交点， 即在上只有一个解，故， 即，即， 设 故只有一个解，即， 当时，，则，不符合，故舍去； 当时，函数的对称轴为， 故在单调递减，且，故方程在无解； 当时，函数的对称轴为，且，， 故方程 在上有唯一解，符合题意， 综上所述，的取值范围是. 17. 如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 分别为的中点， ， 四边形为正方形， ，则， 平面不在平面内， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，进而得，即可证明平面； （2）证明两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，求出、、和点的坐标，求出，和，求出平面的法向量，进而求得直线与平面所成角的正弦值，最后求出直线与平面所成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形，， 平面平面， 两两垂直， 故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则即得 令，则，则， 设直线与平面所成角为，， 由，故直线与平面所成角的大小为． 18. 某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图： （1）估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （2）根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，） （3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值. 【答案】（1） （2） （3）证明:小兔子开始在第1格，为必然事件，， 点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即， 小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况. ①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为； ②小兔了先跳到第格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为； ∵，∴． ∴当时， 数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ． 所以,所以小兔子获胜的概率. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接结算即可； （2）由可知，根据参考数据，即可得出的概率； （3）根据分类加法计数原理可知，构造等比数列可得，利用累加法求出，即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由，∴，， . 【小问3详解】 证明略；. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键建立关于数列的递推关系式，从而可以利用数列问题解决概率问题. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，. （3） 【解析】 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $