精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

咸阳市实验中学2024~2025学年度第一学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量； B. “”是“与直线互相垂直”的充要条件； C. 已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为； D. 直线在y轴上的截距为. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ） A. 当点是中点时，直线平面； B. 直线到平面的距离是； C. 存在点，使得； D. 面积的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______________. 13. 已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______. 14. 已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 16. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 17. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 18. 如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离. 19. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2024~2025学年度第一学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到直线方程的斜率，然后根据的关系，以及的范围，求出答案. 【详解】因为直线方程是， 所以该直线的斜率， 所以可得， 而 所以该直线的倾斜角是. 故选C 【点睛】本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 3. 已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程，得到直线必过的定点，可求出，，进而可求出的取值范围. 【详解】 因为直线，如图 直线：即恒过， 而， 因为直线与线段相交，结合图形， 故直线的斜率的范围为：或． 故选：B 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得. 故选：C 6. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》 【详解】由，则，即，故或， 时，，，即，显然两线重合； 时，则，，即，故. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底表示空间向量，再利用数量积运算求解. 【详解】因为 所以 即 所以． 故选：C． 8. 已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆上的点到直线上的点的距离最小时为圆心到直线的距离减去半径，由此确定，两点的位置，然后求出点到直线的距离作为底边上的高，求出三角形面积即可. 【详解】圆的圆心为原点，半径为2， 过原点且与直线垂直的直线方程为， 则点到直线的距离为. 又因为原点到直线的距离为， 所以的最小值为，则， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行. 【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误． 对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误． 对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误． 对于D，因为，设平面平面，，所以， 因为l，m是异面直线，，所以l，a相交， 因为，，，所以， 因为，，l，a相交，所以，D正确． 故选：ABC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量； B. “”是“与直线互相垂直”的充要条件； C. 已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为； D. 直线在y轴上的截距为. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合方向向量的定义，可判定A正确；结合直线垂直的性质与运算，可判定B错误；根据题意，求得截距相等的直线方程，可判定C错误；根据截距的定义与求解，可判定D正确． 【详解】解：对于A中，直线的斜率为，所以向量是直线的一个方向向量，所以A正确； 对于B中，当直线与直线互相垂直，则， 解得或，故“”是“与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，直线l过点，且在轴上截距相等，当截距为0时，直线方程为； 当截距不为0时，可得直线方程为，所以C错误； 对于D中，由，令，可得，所以在轴上的截距为，所以D正确． 故选：AD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ） A. 当点是中点时，直线平面； B. 直线到平面的距离是； C. 存在点，使得； D. 面积的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接， 于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确； 对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，B错误； 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 对于C，设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案. 【详解】根据题意，方程表示圆， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为， 连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解. 【详解】如图： 设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为， 连接交于，交轴于， 则此时的周长取最小值，且最小值为， 与关于直线：对称， ，解得：， ，易求得：， 的周长的最小值. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强. 14. 已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. 【小问2详解】 由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 16. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 17. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【小问1详解】 ，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 【小问2详解】 线段的中点， 所以直线所在直线方程为. 18. 如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求其夹角的余弦值即可得答案. （2）利用空间向量的方法解决点到面的距离. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则， 取，则，得. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 设，则. 因为平面，所以，则，得，即. 因为，所以点到平面的距离为. 19. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $