精品解析：河南省南阳市内乡县瓦亭镇初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级第一次月考数学试卷 一、选择题：（30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两根，则，分别为（ ） A. B. C. D. 7. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 8. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 9. 定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 10. 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 二、填空题（15分，每小题3分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 已知，则_________． 15. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 选用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值： ，其中a＝. 19. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 20. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 21. 同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题： （1）式子有意义，则x的取值范围______； （2）计算：的值； （3）已知：，求xy的值． 22. 如图，某学校计划利用以一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为12米，计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米，为了方便学生出行，学校决定与墙平行的一面开一个2米宽的门，此时应该如何搭建这个车棚？ 23. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次月考数学试卷 一、选择题：（30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解题的关键在于明确最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足两个条件进行判断即可． 【详解】A、，选项不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，选项不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 3. 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】由题意可知： , 解得：, 故选：． 【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 4. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解： ∴ 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 整理得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 已知是方程的两根，则，分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：是方程的两根， ， ，， 故选：C． 7. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 8. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得 故选：A． 9. 定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用新定义得到(x+1)(x﹣1)﹣1＝x，再把方程化为一般形式后利用>0可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得(x+1)(x﹣1)﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣2＝0， ∵＝(﹣1)2﹣4×1×(﹣2)＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式．对于一元二次方程的根与有如下关系：当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根． 10. 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 【详解】∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 二、填空题（15分，每小题3分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此即可解答，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴即，且， 即有， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 已知，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】将等号两边同时开平方，解出的值，再根据的非负性进行取舍即可． 【详解】， ， =8或－10， ≥0， =8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性． 15. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 【答案】24或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图） 利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法即可得； （3）先计算零指数幂与负整数指数幂、化简绝对值、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （4）先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 选用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程． （1）提取公因式x，即可得出答案． （2）利用因式分解法即可求解． （3）利用配方法即可求解． （4）利用因式分解法即可求出答案． 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 先化简，再求值： ，其中a＝. 【答案】a+1， 【解析】 【详解】试题分析：首先通分相加计算括号内的式子，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入a的值计算即可． 试题解析：= = ＝a＋1. 把a＝代入，得原式＝＋1＝. 19. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，二次根式的性质和绝对值的性质．根据进行化简，然后再利用绝对值的性质化简，再合并同类项即可． 【详解】由数轴可得， ∴，，，， ∴ ． 20. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）移项整理成一般形式：，Δ==1+4， ∵≥0， ∴1+4>0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）m的值为±2，方程的另一个根是4 【解析】 【分析】（1）移项，整理化成方程的一般形式，求出根的判别式，即可判断方程根的情况． （2）把x=1代入原方程，可得出m的值，再把m的绝对值代回原方程，解出x的另一个值． 【详解】解：（1）略 （2）若方程的一个根是1，则（1－3）（1－2）=， ∴m=±2， ∴， 故答案为：m的值是±2，方程的另一个根是4． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义． 21. 同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题： （1）式子有意义，则x的取值范围______； （2）计算：的值； （3）已知：，求xy的值． 【答案】（1） （2） （3）-6 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案； （2）直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质化简得出答案； （3）直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：式子有意义，则x-3≥0， 解得：x≥3； 故答案为：x≥3； 【小问2详解】 解：原式==2-= 【小问3详解】 解：若有意义， 则x-2≥0且2-x≥0， 解得：x=2， ∴y=-3， 则xy=2×（-3）=-6． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 22. 如图，某学校计划利用以一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为12米，计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米，为了方便学生出行，学校决定与墙平行的一面开一个2米宽的门，此时应该如何搭建这个车棚？ 【答案】车棚与墙面垂直的边长为10米，与墙面平行的边长为8米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设车棚与墙面垂直的边长为米，则车棚与墙平行的边长为米，先根据题意建立方程，解方程可得的值，再根据墙的长度即可得出答案． 【详解】解：设车棚与墙面垂直的边长为米，则车棚与墙平行的边长为米， 由题意得：， 解得或， ∵一面靠墙，墙的长度为12米， ∴， ∴， ∴，， 答：车棚与墙面垂直的边长为10米，与墙面平行的边长为8米． 23. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $