精品解析：云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2024-2025学年高一上学期入学检测数学试卷

云大附中星耀学校2024-2025学年上学期高一入学检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 规定用符号[]表示一个不超过实数的最大整数，例如，.按此规定的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，分别是的中点，随着点的运动，线段长（ ） A. 保持不变，长度为 B. 保持不变，长度为 C. 不断增大 D. 先增大，后减小 8. 构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想，在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比这个方法，计算的值（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知集合，，若，，则（ ） A. B. 关于的不等式解集为或 C. D. 集合 11. 设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最大值 D. 有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 14. 已知集合满足，则集合的个数有________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. （1）求值：，其中，. （2）关于的不等式的解集为，求． 17. 解答下列各题． （1）若，求的最小值． （2）若正数，满足，求的最小值． 18. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 19. 已知. （1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围； （2）方程有两个实数根， ①若均大于，试求的取值范围； ②若，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云大附中星耀学校2024-2025学年上学期高一入学检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 规定用符号[]表示一个不超过实数的最大整数，例如，.按此规定的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】估算出的范围，可求得答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：C 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即“”. 故选：B. 4. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法写出两次摸球可能出现的情况，计数后，由概率公式计算出概率． 【详解】由题意两次摸出的小球的颜色可能有下列情形：红红，红黄，红绿，黄红，黄黄，黄绿，绿红，绿黄，绿绿共9种， 其中颜色相同的有3种：红红，黄黄，绿绿， 所以概率为， 故选：B． 5. 设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质、作差法逐项判断即得. 【详解】对于A，，得，A错误； 对于B，因为，所以，得，B错误； 对于C，因为，所以， 所以，C错误； 对于D，因为，所以，所以， 所以，D正确. 故选：D 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合，中的元素特征判断可得. 【详解】， 当时，表示的整数倍与的和，表示的整数倍与的和， 故， 故选：A 7. 如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，分别是的中点，随着点的运动，线段长（ ） A. 保持不变，长度为 B. 保持不变，长度为 C. 不断增大 D. 先增大，后减小 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理求出的长度，再由三角形的中位线定理得，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， 是边上的中点， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 即的长度保持不变，长度为. 故选：B． 8. 构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想，在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比这个方法，计算的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在含有的中延长，使，即可得到，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，在中，，，，，， 延长，使，连接，则， 所以在中. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】AC 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，是的充分不必要条件，故B错误； 对于C，是的必要不充分条件，故C正确； 对于D，或是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：AC. 10. 已知集合，，若，，则（ ） A. B. 关于的不等式解集为或 C. D. 集合 【答案】AD 【解析】 【分析】解不等式可知集合，再根据集合间的运算结果可得集合，再结合集合的定义与二次不等式的性质可得解. 【详解】解不等式可知或， 又，， 则，D选项正确 即不等式的解集为， 可知，A选项正确； 又，则，C选项错误； 且方程的两个解为，， 则，， 即，， 所以不等式即为， 又，所以， 解得，即解集为，B选项错误； 故选：AD. 11. 设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用重要不等式和基本不等式变形计算即可. 【详解】对于A,,则,计算可得,当且仅当时，取得最大值为.故A正确； 对于B,，当且仅当,即,有最小值4，故B错误； 对于C,，解得,当且仅当,有最大值为，故C正确； 对于D，由于，则，当且仅当,有最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可． 【详解】，解得. 故答案为： 13. 若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，利用基本不等式求出的最小值得解. 【详解】由，，当且仅当，即时等号成立， 命题“，使得成立”是真命题，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：把恒成立问题，转化为函数的最值问题，如恒成立，只需. 14. 已知集合满足，则集合的个数有________个. 【答案】 【解析】 【分析】采用列举法可表示出集合，根据包含关系可求得所有可能的结果，由此可得集合的个数. 【详解】，， 集合可能的结果为：，，，，，，，， 集合的个数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 16. （1）求值：，其中，. （2）关于的不等式的解集为，求． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先将分式化简，再代入求值即可； （2）先把不等式进行因式分解，比较两根的大小，对参数分类讨论，求解不等式的解集即可. 【详解】（1） ， 将，代入得：， 所以原式. （2）因为， 所以， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当不等式的解集为， 综上所述： 当时，； 当时，； 当时，. 17. 解答下列各题． （1）若，求的最小值． （2）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）易知，利用基本不等式可求得和的最小值为7； （2）依题意可得，再由基本不等式中“1”的妙用即可得出最小值. 【小问1详解】 由可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为7； 【小问2详解】 由可得， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 18. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】（1） （2） 设窗户面积为,地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即，所以公寓采光效果变好了. 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【小问1详解】 设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. 【小问2详解】 略 19. 已知. （1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围； （2）方程有两个实数根， ①若均大于，试求的取值范围； ②若，求实数的值． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由的充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案. （2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 由，得， 即，即， 又，∴，即， ∵的充分不必要条件是， ∴是的真子集， 则，解得，则， 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 方程为， ①若均大于，则满足， 解得，故，即的取值范围为. ②若，则， 则，即，即， 解得或，由，得或. 所以，即实数的值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $