精品解析：北京市朝阳区北京工业大学附属中学2023～2024学年七年级下学期4月月考数学试题

北京工业大学实验学校2023-2024学年度第二学期第一次诊断 初一年级数学学科试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，且只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 3. 的立方根是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 8 4. 如图，直线与交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A（1，2），AC⊥x轴于C，则点C坐标为（ ） A. （2，0） B. （1，0） C. （0，2） D. （0，1） 7. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 2与 D. 与 8. 如果在y轴上，那么点P的坐标是　　 A. B. C. D. 9. 如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．） 11. 把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 12. 同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________位置就胜利了． 13. 将一副学生用三角板按如图所示的位置放置，若AE∥BC，则∠DAF的度数是________． 14. 某车库的门禁如图所示，点为旋转轴，门禁杆放平位置与抬起位置平行．若，则______°． 15. 如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是________________ 16. 比较下列实数的大小（填上、或=）． ①________；②________ 17. 若的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为______________． 18. 数轴上有、、三个点，点表示的数是，点表示的数是，且，则点示的数是________． 19. 如图，，，，，则的长的取值范围是________ 20. 实、在数轴上的位置如图所示，则化简=___________. 三、解答题（本大题共9个小题，共50分．） 21. 求下列各式的值； （1） （2） 22. 解方程： （1） （2） 23. 已知某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，n的立方根是﹣2，求﹣n﹣m的算术平方根． 24. 已知三角形的三个顶点都在以下表格的交点上，其中，，请在表格中确立C点的位置，使，这样的点C有多少个，请分别表示出来． 25. 完成下面的证明． 如图，已知，，垂足分别为D、F，． 求证：． 解：∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 又∵（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 26. 如图，，，． （1）求的度数； （2）如果是的平分线，那么与平行吗？请说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，． （1）线段的长为________，请选用合适的工具，描出点的位置； （2）若点的纵坐标为1，且，请判断：点的位置________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点的位置． 28. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． （1）填空：________，________． （2）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 29. 如图，，，点B在x轴上，且． （1）求点B的坐标； （2）求三角形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京工业大学实验学校2023-2024学年度第二学期第一次诊断 初一年级数学学科试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，且只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可． 【详解】解：解：A、B、C选项中的图通过平移无法得到，D选项中的图是通过平移得到． 故选：D． 【点睛】本题注意考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键． 2. 如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间．根据数轴上被覆盖的数在与之间，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在与之间； A．，不在与之间，故A错误； B．，不在与之间，故B错误； C．，在与之间，故C正确； D．，不在与之间，故D错误． 故选：C． 3. 的立方根是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出后即可求出答案． 【详解】=8， ∴8的立方根为2， 故选B． 【点睛】本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于基础题型． 4. 如图，直线与交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】主要考查了邻补角和垂线的定义，正确得出的度数是解题关键． 5. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果. 【详解】、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式没有意义，不符合题意； 、原式，符合题意. 故选. 【点睛】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 6. 已知点A（1，2），AC⊥x轴于C，则点C坐标为（ ） A. （2，0） B. （1，0） C. （0，2） D. （0，1） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据轴于，可知点的横坐标与点相同，又由x轴上的点的纵坐标为0，即可得到结果． ∵轴于，（1，2）， ∴点的横坐标为1，纵坐标为0， 故选B. 考点：本题考查的是坐标轴上的点的特征 点评：解答本题的关键是掌握x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0. 7. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 2与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根的化简和求立方根、相反数的定义等知识.逐项化简后进行比较即可. 【详解】A. ，则与互为相反数，选项符合题意； B. ，则与相等，选项不符合题意； C. ，则2与相等，选项不符合题意； D. ，则与相等，选项不符合题意； 故选：A 8. 如果在y轴上，那么点P的坐标是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可． 【详解】解：∵在y轴上， ∴ 解得， ∴点P的坐标是（0，-2）． 故选B． 【点睛】解决本题的关键是记住y轴上点的特点：横坐标为0． 9. 如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 10. 定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．） 11. 把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【解析】 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 12. 同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________位置就胜利了． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据题意得出原点位置进而得出黑棋应该放的位置． 【详解】解：如图所示建立直角坐标系，黑棋放在图中黑点G或H位置，就能获胜． ∵白①的位置是，黑②的位置是，， ∴O点的位置为：， ∴黑棋放在或位置就能获胜． 故答案为：或． 13. 将一副学生用三角板按如图所示的位置放置，若AE∥BC，则∠DAF的度数是________． 【答案】15°. 【解析】 【分析】 【详解】∵AE//BC， ∴∠EAF=∠C=30°， ∵∠EAD=45°， ∴∠DAF=∠EAD-∠EAF=15°. 故答案是：15° 14. 某车库的门禁如图所示，点为旋转轴，门禁杆放平位置与抬起位置平行．若，则______°． 【答案】92 【解析】 【分析】首先根据得，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：92． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 15. 如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是________________ 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 16. 比较下列实数的大小（填上、或=）． ①________；②________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据实数的大小比较解答即可. ②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可. 本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 【详解】解：①∵，且， ∴； 故答案为：. ②∵， ∴ ∴， ∵是负数， ∴， 故答案为：. 17. 若的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为______________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算和二次根式的化简求值，得出的值是解题关键． 根据二次根式的估算，分别求出整数部分和小数部分，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：6 18. 数轴上有、、三个点，点表示的数是，点表示的数是，且，则点示的数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点之间的距离公式是解答此题的关键．由点表示的数是，点表示的数是，且，得，根据数轴上两点间距离即可得解． 【详解】解：∵点表示的数是，点表示的数是，且， ∴， ∴点表示的数是：， 故答案为：． 19. 如图，，，，，则的长的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，大角对大边，根据在直角三角形中，，直角三角形中，，即可解答． 【详解】解： 由题意可得，和都是直角三角形， 在中，，即， 在中，，即， ， 故答案为：． 20. 实、在数轴上的位置如图所示，则化简=___________. 【答案】 【解析】 【详解】由数轴得，a+b<0,b-a>0, |a+b|+=-a-b+b-a=-2a. 故答案为-2a. 点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 三、解答题（本大题共9个小题，共50分．） 21. 求下列各式的值； （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握开平方根与开立方根的方法． （1）先移项，再利用直接开平方法，求解即可； （2）直接用开立方方法求解即可． 【小问1详解】 解： 方程整理得：， 开方得：， ∴或； 【小问2详解】 解： 方程整理得：， 开方得：， ∴． 23. 已知某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，n的立方根是﹣2，求﹣n﹣m的算术平方根． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据平方根的性质，求出m值，再根据立方根的性质求出n，代入﹣n﹣m，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】∵某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16， 可得：m+4+2m﹣16＝0， 解得：m＝4， ∵n的立方根是﹣2， ∴n＝﹣8， 把m＝4，n＝﹣8代入﹣n﹣m＝8﹣4＝4， 所以﹣n﹣m的算术平方根是2． 【点睛】题目考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是利用性质求出m、n值，然后再求-n-m的算术平方根，特别是最终求值，是本题的易错点．题目整体较难，适合课后培优训练． 24. 已知三角形的三个顶点都在以下表格的交点上，其中，，请在表格中确立C点的位置，使，这样的点C有多少个，请分别表示出来． 【答案】6个，分别为 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积公式．设点C距离直线的距离为h，根据，，解得，即点C到直线的距离是3，即可得出答案． 【详解】解：设点C距离直线的距离为h，如图， ∵，， ∴， ∴，解得，即点C到直线的距离是3， ∴点C是与平行且距离为3的直线l与表格格点的交点，如图所示，符合条件的点C有6个，分别为． 25. 完成下面的证明． 如图，已知，，垂足分别为D、F，． 求证：． 解：∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 又∵（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质证明，根据证明过程以及平行线的判定以及性质解题即可． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 26. 如图，，，． （1）求的度数； （2）如果是的平分线，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】（1）60° （2） 解：， 理由是：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出，即可得出答案； （2）求出，根据平行线的性质求出，求出，即可得出，根据平行线的判定得出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，． （1）线段的长为________，请选用合适的工具，描出点的位置； （2）若点的纵坐标为1，且，请判断：点的位置________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点的位置． 【答案】（1）；画图见解析 （2）不唯一；图中标出所有点的位置见解析 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式求出的长即可；连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C； （2）根据点的纵坐标为1，且，且B点坐标为，得出点D的坐标为或，即可得出点D的位置不唯一． 【小问1详解】 解：线段的长为； 如图：连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C． ∵， ∴， ∴， 即点C坐标为为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点的纵坐标为1，且，且B点坐标为， ∴点D的坐标为或， ∴点D的位置不唯一，如图所示： 故答案为：不唯一． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式． 28. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． （1）填空：________，________． （2）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】（1），1 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据，结合，解答即可． （2）根据实部等于实部，虚部等于虚部，构造方程组解答即可． 本题考查了新知识的拓展学习，正确理解新知识，并转化成已学知识解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴，， 故答案为：，1． 【小问2详解】 解：， ∴， 解得 故x的值为，y的值为． 29. 如图，，，点B在x轴上，且． （1）求点B的坐标； （2）求三角形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）6 （3）存在，P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $