7.1 一元线性回归-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §1　一元线性回归 知识点一　对变量间关系的理解 1．下列两个变量之间有关系但不是函数关系的是(　　) A．同一圆中，角的大小与所对的弧长 B．空气污染指数与汽车保有量 C．人的身高与视力 D．圆的半径与面积 答案　B 解析　对于A，同一圆中，角的大小与弧长之间是函数关系；对于B，空气污染指数与汽车保有量之间有关系但不是函数关系；对于C，人的身高与视力之间没有关系；对于D，圆的半径r与面积S满足S＝πr2，它们之间是函数关系．故选B． 知识点二　散点图与线性关系 2．下列散点图中，变量X，Y具有线性关系的是(　　) 答案　D 解析　对于A，变量X，Y具有函数关系；对于B，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条直线附近，所以变量X，Y不具有线性关系；对于C，所有的散点没有分布在一条直线附近，所以变量X，Y不具有线性关系；对于D，所有的散点都分布在一条直线附近，所以变量X，Y具有线性关系．故选D． 3．某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品种棉花进行施肥量X(单位：kg)对产量Y(单位：kg)影响的试验，得到如下表所示的数据． X 15 20 25 30 35 40 45 Y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断施肥量X与产量Y是否具有线性关系． 解　(1)散点图如图所示： (2)由散点图知，各组数据对应点大致在一条直线附近，所以施肥量X与产量Y具有线性关系． 知识点三　一元线性回归方程的性质 4．对具有线性关系的两个变量建立的线性回归方程Y＝＋X中，线性回归方程的系数(　　) A．可以小于0 B．只能大于0 C．能等于0 D．只能小于0 答案　A 解析　当＝0时，两个变量不具有线性关系，但可以大于0，也可以小于0． 5．为了研究变量X和Y之间的线性关系，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2一定平行 B．l1与l2重合 C．l1与l2相交于点(，) D．无法判断l1和l2是否相交 答案　C 解析　回归直线一定过点(，)，故C正确． 知识点四　一元线性回归方程及其应用 6．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2024年前5个月的带货金额： 月份X 1 2 3 4 5 带货金额Y/万元 350 440 580 700 880 (1)请画出上表数据的散点图； (2)求变量X，Y之间的线性回归方程，并据此预测2024年12月份该公司的直播带货金额． 参考数据：＝590， (xi－)2＝10， (xi－)·(yi－)＝1320． 参考公式：线性回归方程的斜率＝，截距＝－． 解　(1)散点图如图所示． (2)因为＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝590， (xi－)2＝10， (xi－)(yi－)＝1320， 所以＝＝＝132， ＝590－132×3＝194， 所以变量X，Y之间的线性回归方程为Y＝132X＋194， 当X＝12时，Y＝132×12＋194＝1778(万元)． 所以预测2024年12月份该公司的直播带货金额为1778万元． 一、选择题 1．[多选]下列两个变量之间有关系的是(　　) A．学生的学习态度与学习成绩 B．教师的执教水平与学生的学习成绩 C．学生的身高与学生的学习成绩 D．家庭经济条件与学生的学习成绩 答案　AB 解析　对于A，学生的学习态度与学习成绩之间有关系；对于B，教师的执教水平与学生的学习成绩之间有关系；对于C，学生的身高与学生的学习成绩之间没有关系；对于D，家庭经济条件与学生的学习成绩之间没有关系．故选AB． 2．[多选]如图是根据X，Y的观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量X，Y具有线性关系的是(　　) 答案　AD 解析　对于A，D，因为这些散点大致分布在一条直线附近，所以可以判断变量X，Y具有线性关系；对于B，C，因为这些散点杂乱无章，没有分布在一条直线附近，所以可以判断变量X，Y没有线性关系．故选AD． 3．设有一个线性回归方程Y＝2－1．5X，则变量X增加一个单位时，(　　) A．Y平均增加1．5个单位 B．Y平均增加2个单位 C．Y平均减少1．5个单位 D．Y平均减少2个单位 答案　C 解析　由Y＝2－1．5X可知，变量X增加一个单位时，Y平均减少1．5个单位． 4．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表： 考试次数X 1 2 3 4 所减分数Y 4．5 4 3 2．5 显然所减分数Y与模拟考试次数X之间有较好的线性关系，则其线性回归方程为(　　) A．Y＝0．7X＋5．25 B．Y＝－0．6X＋5．25 C．Y＝－0．7X＋6．25 D．Y＝－0．7X＋5．25 答案　D 解析　由已知，＝2．5，＝3．5，(2．5，3．5)满足方程Y＝－0．7X＋5．25．故选D． 5．[多选]设某大学的女生体重Y(单位：kg)与身高X(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为Y＝0．85X－85．7，则下列结论中正确的是(　　) A．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58．8 kg B．回归直线过点(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0．85 kg D．两变量Y与X具有函数关系 答案　BC 解析　用所给的线性回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故该大学某女生身高为170 cm，则可说其体重大约为58．8 kg，故A不正确；由最小二乘法的计算公式可知，回归直线过样本中心点(，)，B正确；依据线性回归方程中的含义可知，X每增加1个单位，Y相应增加约为0．85个单位，C正确；两变量Y与X具有线性相关关系，不具有函数关系，D错误．故选BC． 二、填空题 6．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________(填序号)． ①球的体积和它的半径；②商品的需求量与价格；③底面积为定值的长方体的体积和高；④城镇居民的消费水平和平均工资． 答案　①③ 解析　球的体积公式为V＝πr3，长方体的体积V＝S·h，都是函数关系，因此①③中两个变量之间的关系为函数关系；②④中的两个变量之间有关系但不是函数关系． 7．某种木材的体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 则木材的体积与树木的树龄之间________线性关系(填“具有”或“不具有”)． 答案　具有 解析　以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材的体积，可得相应的散点图如图所示．由散点图发现这些散点大致落在一条直线附近，所以木材的体积与树木的树龄之间具有线性关系． 8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示： X/月份 1 2 3 4 5 Y/万盒 5 5 6 6 8 若X，Y有线性关系，且线性回归方程为Y＝0．7X＋，则可估计该制药厂6月份生产甲胶囊的产量为________万盒． 答案　8．1 解析　由题意得，＝3，＝6，所以6＝0．7×3＋，解得＝3．9，当X＝6时，Y＝0．7×6＋3．9＝8．1．故可估计该制药厂6月份生产甲胶囊的产量为8．1万盒． 三、解答题 9．某单位为了了解用电量Y(单位：度)与气温X(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温如下表： 气温/℃ 14 12 8 6 用电量/度 22 26 34 38 (1)画出散点图并判断两个变量之间是否有线性关系； (2)求用电量Y关于气温X的线性回归方程； (3)由(2)的方程预测气温为5 ℃时，用电量的度数． 解　(1)散点图如图． 由散点图可以看出两个变量之间有近似的线性关系． (2)由题意知n＝4，＝10，＝30，则 ＝ ＝ ＝＝－2， ＝－＝30－(－2)×10＝50， 所以所求线性回归方程为Y＝－2X＋50． (3)令(2)中的线性回归方程中的X＝5， 得Y＝40， 所以预测当气温是5 ℃时，用电量是40度． 10．2023年底，受大雪的影响，许多地区的学生基本上进行了居家线上学习，以保证安全，然而随着居家时间越来越长，学生焦虑程度越来越强．经有关机构调查，得出居家周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表： 周数X 1 2 3 4 5 6 正常值Y 55 63 72 80 90 99 (1)画出散点图并判断两个变量之间是否有线性关系； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y＝X＋；(线性回归方程的系数保留到小数点后的第2位) (3)根据经验，观测值为正常值的0．85～1．06为正常，1．06～1．12为轻度焦虑，1．12～1．20为中度焦虑，1．20及其以上为重度焦虑．小明同学在第7周时观测值为110，试预测小明同学的焦虑程度，并给他提出一些建议． 参考数据与公式：＝， xiyi＝1761，x＝91，＝－． 解　(1)散点图如图． 由散点图可以看出两个变量之间有近似的线性关系． (2)因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3．5，＝×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76．5，xiyi＝1761，x＝91， 所以＝＝≈8．83， 所以＝－≈76．5－8．83×3．5≈45．60， 所以Y关于X的线性回归方程为Y＝8．83X＋45．60． (3)当X＝7时，Y＝8．83×7＋45．60＝107．41， ≈1．02． 因为0．85＜1．02＜1．06， 所以小明的焦虑程度在正常范围内，他在家应保持正常的生活和学习习惯． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$