2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 知识点一　弦长及中点弦问题 1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B．6 C．12 D．7 答案　C 解析　抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在直线的方程为y＝，将y＝代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12． 2．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|＝(　　) A．2 B． C．2 D． 答案　C 解析　由题意得直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．∵直线与抛物线交于A，B两点，∴k2≠0且Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1且k≠0．又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝＝2． 3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 答案　 解析　由消去y并化简得x2＋2x－6＝0．设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6． ∴弦长|MN|＝·|x1－x2| ＝＝＝． 4．已知双曲线x2－＝1，过点P(2，1)作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__________． 答案　6 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程，得①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)＝．∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴4(x1－x2)＝，∴＝6，∴直线AB的斜率为6． 5．过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有________条． 答案　1 解析　依题意，得右焦点F(5，0)，所以过F且垂直于x轴的直线的方程是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝．当该直线不垂直于x轴时，分两种情况：①如果直线与双曲线的右支有两个交点，则弦长一定比长；②直线与双曲线交于左、右两支时，因为两顶点间的距离为4，即左、右两支上的点的最短距离是4，此时弦长不可能为，故只有一条符合要求的直线． 知识点二　定点与定值问题 6．[多选]过抛物线C：y2＝2px上一点A(1，－4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则(　　) A．C的准线方程是x＝－4 B．过C的焦点的最短弦长为8 C．直线MN过定点(0，4) D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x＋y－38＝0 答案　AD 解析　将A(1，－4)代入C：y2＝2px中得p＝8，则C的方程为y2＝16x，所以C的准线方程是x＝－4，故A正确；当过C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；设M，N，直线MN的方程为x＝my＋n，联立抛物线方程得y2－16my－16n＝0，所以y1＋y2＝16m，y1y2＝－16n，又AM⊥AN，所以·＝·＝＋(y1＋4)(y2＋4)＝0．因为y1≠－4，y2≠－4，即(y1＋4)·(y2＋4)≠0，所以＋1＝0，整理得y1y2－4(y1＋y2)＋272＝0，故－16n－64m＋272＝0，得n＝－4m＋17，所以直线MN的方程为x＝m(y－4)＋17，所以直线MN过定点P(17，4)，故C不正确；当MN⊥AP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN的方程为2x＋y－38＝0，故D正确．故选AD． 7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，0)，离心率e＝，右焦点为F． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值． 解　(1)∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，0)， ∴a＝2． 又e＝，∴c＝1，则b＝＝． ∴椭圆C的方程为＋＝1． (2)证法一：由题意知F(1，0)，直线AB的斜率存在， 设其方程为y＝k(x－1)，则P(0，－k)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠1，x2≠1． 由＝m，得(x1，y1＋k)＝m(1－x1，－y1)， ∴m＝． 由＝n，得(x2，y2＋k)＝n(1－x2，－y2)， ∴n＝． 联立 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 显然Δ>0． ∴x1＋x2＝，x1x2＝． 故m＋n＝＋ ＝ ＝＝－＝－，为定值． 证法二：由题意知F(1，0)，m≠－1，n≠－1． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，y0)， 由＝m，得(x1，y1－y0)＝m(1－x1，－y1)， ∴x1＝，y1＝，故A． ∵点A在椭圆C：＋＝1上， ∴＋＝1， 整理得9m2＋24m＋12－4y＝0． 同理，由＝n，得9n2＋24n＋12－4y＝0． 由此可得m，n是关于x的一元二次方程9x2＋24x＋12－4y＝0的两个实数根． ∴m＋n＝－＝－，为定值． 知识点三　最值与范围问题 8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝kx(k≠0)交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上(与点A，B不重合)．若直线AD，BD的斜率分别为k1，k2，则的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　A 解析　设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，∵点B，D都在椭圆上，∴两式相减，得＋＝0，∴＝－，即k1k2＝－＝－＝＝＝－4，∴k2＝－，∴＝＝|k1|＋≥2＝2，当且仅当k1＝±1时取等号．故选A． 9．设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且E的渐近线方程为y＝±． (1)求E的方程； (2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 解　(1)由题意，得E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 因为双曲线E的渐近线方程为y＝±， 所以＝， 即a＝2b， 又因为|F1F2|＝2＝2＝2， 所以b＝1，则a＝2， 故E的方程为－y2＝1． (2)根据题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为0， 设直线l1：y＝k(x－)，l2：y＝－(x－)，其中k≠0， 因为l1，l2均与E的右支有两个交点， 所以|k|>，>，所以<k2<4， 将l1的方程与－y2＝1联立， 可得(1－4k2)x2＋8k2x－20k2－4＝0， 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|AC|＝ ＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·＝， 用－替换k，可得|BD|＝， 所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD| ＝·· ＝8·． 令t＝k2＋1，所以k2＝t－1，t∈， 则S四边形ABCD＝8· ＝8· ＝≥， 当且仅当＝，即k＝±1时，等号成立， 故四边形ABCD面积的最小值为． 知识点四　存在性问题 10．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，离心率e＝． (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(0，)且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P，Q，求k的取值范围； (3)设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在直线l，满足(2)中的条件且使得向量＋(O为坐标原点)与垂直？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由． 解　(1)设椭圆C的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c． 由题设知，c＝1．由e＝＝＝，得a＝， 则b＝1． ∴椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)过点M(0，)且斜率为k的直线l：y＝kx＋， 与椭圆C的方程联立，消去y，得 (2k2＋1)x2＋4kx＋2＝0．(*) 由直线l与椭圆C有两个不同的交点，知 Δ＝32k2－8(2k2＋1)>0， 得k<－或k>， ∴k的取值范围是∪． (3)不存在．理由如下： 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1，x2是(*)的两个根， 则x1＋x2＝－． 则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝． 则＋＝(x1＋x2，y1＋y2) ＝， 由题设知A(，0)，B(0，1)， ∴＝(－，1)． 若(＋)⊥， 则(＋)·＝＋＝0， 得k＝－∉∪． ∴不存在满足题设条件的直线l． 一、选择题 1．直线y＝kx－1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0，1)∪(1，5) D．[1，5)∪(5，＋∞) 答案　D 解析　∵直线y＝kx－1恒过点(0，－1)，∴由题意知，点(0，－1)在椭圆＋＝1上或其内部，∴≤1且m≠5，m>0，∴m≥1且m≠5． 2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x，得y0＝．由题意，得＝，∴＝．故选A． 3．已知点F是双曲线x2－＝1的左焦点，直线4x－y－12＝0与该双曲线交于P，Q两点，则△FPQ的重心G到y轴的距离为(　　) A．1 B．4 C．3 D．2 答案　C 解析　不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程消去y，得x2－12x＋19＝0，故x1＋x2＝12，因为F(－3，0)，所以点G到y轴的距离为＝＝3．故选C． 4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1＝(　　) A．45° B．90° C．60° D．120° 答案　B 解析　如图，由抛物线的定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1．又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO．同理∠BFB1＝∠B1FO．于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1．故∠A1FB1＝90°．故选B． 5．[多选]已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，过点P的直线l与右支交于另一点Q，且与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，则(　　) A．点P到两条渐近线的距离之积为定值 B．·为定值 C．|PF1|·|PF2|<|PO|2 D．|PA|＝|BQ| 答案　ACD 解析　由已知双曲线C：－y2＝1，得渐近线方程为y±x＝0，设点P(xP，yP)，点P到两条渐近线的距离为d1，d2，则d1·d2＝·＝＝，为定值，故A正确；因为·＝||·||cos∠AOB，作直线x＝m，x＝n，且≤m<n，两直线分别交x轴上方双曲线于P1，P2，交x轴上方渐近线于A1，A2，交x轴下方渐近线于B1，B2，易知当P分别与P1，P2重合时，||·||不是定值，又cos∠AOB为定值，所以·不是定值，故B错误；由双曲线方程为－y2＝1，得F1(－，0)，F2(，0)，所以|PF1|＝，|PF2|＝，所以|PF1|2·|PF2|2＝[(xP＋)2＋y]·[(xP－)2＋y]＝(x＋y＋3＋2xP)(x＋y＋3－2xP)＝(x＋y＋3)2－12x，又因为－y＝1，所以|PF1|2·|PF2|2＝－12x＝x－6x＋4，又因为|PO|4＝(x＋y)2＝＝x－3x＋1，两式相减得|PF1|2·|PF2|2－|PO|4＝－3x＋3，又因为xP≥，|PF1|2·|PF2|2－|PO|4＝－3x＋3<0，所以|PF1|·|PF2|<|PO|2，故C正确；设A(xA，yA)，B(xB，yB)，Q(xQ，yQ)，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝m(m>)，由题意易知|PA|＝|BQ|，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋t，与－y2＝1联立，可得(1－2k2)x2－4ktx－2t2－2＝0，所以xP＋xQ＝，将直线方程y＝kx＋t与渐近线方程y＋x＝0联立，可得xA＝，将直线方程y＝kx＋t与渐近线方程y－x＝0联立，可得xB＝，所以xA＋xB＝＋＝，所以xP＋xQ＝xA＋xB，所以PQ与AB的中点相同，所以|PA|＝|BQ|，故D正确．故选ACD． 二、填空题 6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果y＋y＝24，那么|AB|＝________． 答案　8 解析　因为y＝4x1，y＝4x2，所以4(x1＋x2)＝y＋y＝24，即x1＋x2＝6．所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8． 7．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________． 答案　±1 解析　由消去y，得x2－2mx－m2－2＝0．则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1． 8．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，则k＝________时，⊥，此时|AB|的值为________． 答案　±　 解析　设P(x，y)，由椭圆的定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2，短半轴长为＝1的椭圆，故曲线C的方程为x2＋＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ＝(2k)2＋12(k2＋4)>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－．∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0．∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝＝0，∴k＝±．当k＝时，x1＋x2＝－，当k＝－时，x1＋x2＝，x1x2＝－． |AB|＝＝，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝，∴|AB|＝＝． 三、解答题 9．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率． 解　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意， 2b＝4，＝， 又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1． 所以椭圆的方程为＋＝1． (2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)． 设直线PB的斜率为k(k≠0)， 又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立，得 整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0， 可得xP＝－， 代入y＝kx＋2，得yP＝， 所以直线OP的斜率为＝． 在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－． 由题意得N(0，－1)， 所以直线MN的斜率为－． 由OP⊥MN，得·＝－1， 化简得k2＝，从而k＝±． 所以直线PB的斜率为或－． 10．设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN． 解　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2，2)或(2，－2)． 所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1． (2)证法一：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN； 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1>0，x2>0． 由得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4． 直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝，　① 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式的分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0， 所以kBM＋kBN＝0，可知直线BM，BN的倾斜角互补， 所以∠ABM＝∠ABN． 综上，∠ABM＝∠ABN． 证法二：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线， 所以∠ABM＝∠ABN； 当l与x轴不垂直时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0，y1y2<0． 由A，M，N三点共线可得＝， 则＝． 由y＝2x1，y＝2x2，得＝＝， 所以＝＝， 故＝＝． 由于<0，>0， 所以－＝，即＋＝0， 故kBM＋kBN＝0，则有∠ABM＝∠ABN． 综上，∠ABM＝∠ABN． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$