2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 知识点一　直线与椭圆的交点问题 1．已知直线l：x＋y－＝0，椭圆C：＋＝1，则直线与椭圆(　　) A．有两个公共点 B．有且只有一个公共点 C．没有公共点 D．有一个或两个公共点 答案　A 解析　由可得13x2－24x－4＝0，∵Δ＝(－24)2－4×13×(－4)＞0，∴直线与椭圆有两个公共点．故选A． 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个公共点，则斜率k的值是(　　) A． B．－ C．± D．± 答案　C 解析　把y＝kx＋2代入＋＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±．故选C． 3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的公共点的个数为(　　) A．2 B．1 C．0 D．不确定 答案　A 解析　直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1，1)，而该点在椭圆＋＝1的内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的公共点的个数为2．故选A． 4．已知椭圆C：＋＝1， (1)点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标； (2)点M(0，2)，P是椭圆C上的动点，求|PM|的最大值及相应点P的坐标． 解　(1)因为直线m过椭圆的左顶点A，且斜率为1， 所以直线m的方程为y＝x＋2， 联立方程组消去y并整理，得 3x2＋8x＋4＝0，(x＋2)(3x＋2)＝0，x1＝－2，x2＝－， 所以点B的坐标为． (2)设P(x0，y0)， 因为P是椭圆C上的动点， 所以＋＝1，x＝4－2y， 因为M(0，2)， 所以|PM|＝ ＝ ＝ ＝， 因为－≤y0≤， 所以当y0＝－时，|PM|取最大值3，此时点P的坐标为(0，－)． 知识点二　直线与抛物线的交点问题 5．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　由题意知，点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B． 6．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 答案　C 解析　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1，0)．又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．故选C． 7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 答案　C 解析　准线方程为x＝－2，Q(－2，0)，设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0．当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)；当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1．综上，k的取值范围是[－1，1]． 知识点三　直线与双曲线的交点问题 8．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则直线l的条数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由双曲线的方程知，点P(1，0)为双曲线的一个顶点，过点P(1，0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．故选B． 9．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(　　) A．k2－e2>1 B．k2－e2<1 C．e2－k2>1 D．e2－k2<1 答案　C 解析　直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率满足－<k<，即k2<＝＝e2－1，即e2－k2>1． 10．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0．(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． (1)由 得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (2)由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解， 即直线l与双曲线相交，所以直线l与双曲线有且只有一个公共点． 故当k＝±或±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)由得k<－或k>，此时方程(*)无实数解， 即直线l与双曲线没有公共点． 一、选择题 1．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为直线y＝与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个交点．故选B． 2．与直线2x－y＋4＝0平行且与抛物线y＝x2只有一个公共点的直线方程为(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 答案　D 解析　设所求直线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即所求直线方程为2x－y－1＝0． 3．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　根据题意，设椭圆方程为＋＝1(b>0)，将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即b2(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3，∴椭圆的长轴长为2＝2．故选C． 4．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　) A． B．(，＋∞) C． D．∪(，＋∞) 答案　D 解析　由消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0．由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0，即a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0，即a2<2，所以a2∈(0，1)∪(1，2)．由e＝，得e∈∪(，＋∞)． 5．[多选]已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是(　　) A．四边形AF1BF2为平行四边形 B．∠F1PF2<90° C．直线BE的斜率为k D．∠PAB>90° 答案　ABC 解析　直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，由椭圆的对称性可得O为AB的中点，又O为F1F2的中点，可得四边形AF1BF2为平行四边形，故A正确；由椭圆方程可得a＝2，b＝c＝，以F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P在圆外，可得∠F1PF2<90°，故B正确；由直线方程y＝kx与椭圆方程x2＋2y2＝4联立，可得A，B，则E，kBE＝k，故C正确；设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则kAP·kBP＝·＝＝＝－，又直线BP的斜率为k，故kAP＝＝－，所以kAP·kAB＝－·k＝－1，故∠PAB＝90°，故D错误．故选ABC． 二、填空题 6．已知点P是椭圆x2＋8y2＝8上一点，则点P到直线l：x－y＋4＝0的最短距离为________． 答案　 解析　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆仅有一个公共点的直线为x－y＋a＝0，联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，所以与直线l距离较近且与椭圆仅有一个公共点的直线方程为x－y＋3＝0，最短距离为d＝＝． 7．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，则机器人行进的轨迹方程为________，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________． 答案　y2＝4x　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　依题意可知，机器人行进的轨迹方程为y2＝4x．过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0．由k2≠0且Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1． 8．双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝b与C的右支交于点P，若|PF1|＝2|PF2|，且该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，则双曲线的方程为________． 答案　－＝1 解析　∵直线y＝b与双曲线－＝1(a＞0，b>0)的右支交于点P，∴把y＝b代入C的方程可得x＝±2a，∴P(2a，b)，∵F1(－c，0)，F2(c，0)，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∴＝4a　①，＝2a　②，由①2－②2得，8ac＝12a2，∵a>0，∴2c＝3a，∴＝．设双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，∵该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，则F2(c，0)到直线bx－ay＝0的距离为，∴＝，得b＝，再由a2＋b2＝c2，＝，解得a＝2，∴双曲线的方程为－＝1． 三、解答题 9．如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积． 解　由解得或 所以A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3． 设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有 d＝＝ ＝|(y0－1)2－9|． 因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0． 所以d＝[9－(y0－1)2]． 从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝． 因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，为． 10．如图所示，A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF． (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 解　(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)， 设点P的坐标是(xP，yP)， 则＝(xP＋6，yP)，＝(xP－4，yP)． 由已知得 则2x＋9xP－18＝0， 解得xP＝或xP＝－6(舍去)． 由于yP＞0，所以yP＝． 所以点P的坐标是． (2)直线AP的方程是x－y＋6＝0． 设点M的坐标是(m，0)， 则点M到直线AP的距离是， 于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2， 设椭圆上的点的坐标为(x，y)， 则有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15， 由于－6≤x≤6， 所以当x＝时，d取得最小值． 所以椭圆上的点到点M的距离d的最小值为． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$