2.3.2 抛物线的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 3．2　抛物线的简单几何性质 知识点一　抛物线的几何性质 1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A． B． C． D．0 答案　B 解析　抛物线y＝4x2的准线方程是y＝－，设M(x，y)，由抛物线的定义知，y＋＝1，所以y＝． 2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　) A．(4，±2) B．(±4，2) C．(±2，4) D．(2，±4) 答案　D 解析　抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有⇒所以符合题意的点为(2，±4)．故选D． 3．已知抛物线y2＝8x． (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)P是抛物线上一点，点Q(4，0)，求|PQ|的取值范围； (3)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0． (2)设P(x0，y0)，则y＝8x0(x0≥0)， |PQ|＝＝＝≥＝4， 当且仅当x0＝0时，|PQ|min＝4， 所以|PQ|的取值范围是[4，＋∞)． (3)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为M，又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|． 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3，0)． 将x＝3代入y2＝8x，得y2＝24， 所以y＝2或y＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2＋4． 知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程 4．以x轴为对称轴的抛物线截过焦点且与对称轴垂直的直线所得线段的长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________． 答案　y2＝8x或y2＝－8x 解析　依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x． 5．若抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，则抛物线的标准方程为________． 答案　y2＝4x或x2＝－y 解析　①当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)． 将点M(1，－2)的坐标代入，得m＝4，∴y2＝4x． ②当抛物线的焦点在y轴上时， 设其标准方程为x2＝ny(n≠0)． 将点M(1，－2)的坐标代入，得n＝－，∴x2＝－y． 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y． 知识点三　抛物线性质的应用 6．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝________． 答案　8 解析　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8． 7．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) 解　如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处． 在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为． 将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0)． 因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处． 一、选择题 1．一个动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　　) A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2) 答案　B 解析　由题意得，抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2．因为动圆与直线x＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点(2，0)．故选B． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝3与抛物线C：x2＝py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝3x C．x2＝6y D．x2＝3y 答案　D 解析　依题意，不妨设点A在y轴左侧，由得A(－，3)，B(，3)，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，即·＝－1，∴p＝3，∴抛物线C的方程为x2＝3y．故选D． 3．如图所示，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)作准线l的垂线，垂足为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x 答案　D 解析　设准线l交x轴于点C．∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°．∴在Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p．由AB⊥y轴，可得|AB|＝3＋．又|AB|＝|BF|，∴3＋＝2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选D． 4．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径(直径)为4 m，深度为0．5 m，则该抛物线顶点到焦点的距离为(　　) A．0．25 m B．0．5 m C．1 m D．2 m 答案　D 解析　以该抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，设此抛物线方程为x2＝2py(p>0)，依题意，点(2，0．5)在此抛物线上，所以2p×＝4，解得p＝4，则该抛物线顶点到焦点的距离为＝2 m．故选D． 5．[多选]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，若点P(m，1)是抛物线D与双曲线C的一个公共点，则下列说法正确的是(　　) A．a＝3b B．抛物线D的方程为x2＝9y C．m＝±3 D．双曲线C的方程为－y2＝1 答案　ACD 解析　设双曲线C的离心率为e．由已知可得e2＝＝，所以a2＝9b2，即a＝3b，A正确；由抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，得－＝－，解得p＝9，所以抛物线D的方程为x2＝18y，B错误；由点P(m，1)在抛物线D上，得m2＝18，解得m＝±3，C正确；由点P(m，1)在双曲线C上，可得－＝1，又a＝3b，所以a2＝9，b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1，D正确．故选ACD． 二、填空题 6．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴交于点A(2，0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与对称轴平行)． 答案　x＝－2 解析　由直线y＝－2平行于抛物线的对称轴知A(2，0)为抛物线的焦点，故抛物线的准线方程为x＝－2． 7．A，B是过抛物线x2＝4y焦点的直线与抛物线的交点，且|AB|＝10，则AB的中点的纵坐标为________． 答案　4 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2＝10，即y1＋y2＝8，故AB的中点的纵坐标为4． 8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，|AB|＝________． 答案　6　4 解析　设准线与y轴的交点为D，如图，在正三角形ABF中，|DF|＝p，|BD|＝p，则点B的坐标为．又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6．得A(－2，－3)，B(2，－3)，故|AB|＝4． 三、解答题 9．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程． 解　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y＝2，与y轴的交点为A， ∴△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8． ∴抛物线的方程为y2＝±8x． 10．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5 m．若行车道总宽度AB为8 m． (1)计算车辆通过隧道时的限制高度； (2)现有一辆载重汽车宽3．5 m，高4．2 m，试判断该车能否安全通过隧道？ 解　(1)建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，根据题意，此抛物线经过点(－5，－5)， 代入抛物线方程解得p＝， 所以抛物线的方程为x2＝－5y． 在此方程中令x＝－4，得y＝－3．2， 7－3．2－0．5＝3．3， 所以车辆通过隧道时的限制高度为3．3 m． (2)对于抛物线x2＝－5y，令x＝3．5，得y＝－2．45， 因为7－2．45－0．5＝4．05<4．2， 所以该车不能安全通过隧道． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$