2.3.1 抛物线及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 知识点一　抛物线的定义及应用 1．已知动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－7|，则动点P的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　A 解析　因为5＝|3x＋4y－7|，所以＝，即动点P(x，y)到定点(1，1)的距离等于到定直线3x＋4y－7＝0的距离，直线3x＋4y－7＝0过点(1，1)，则动点P的轨迹为过点(1，1)与直线3x＋4y－7＝0垂直的直线．故选A． 2．若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案　A 解析　因为抛物线的方程为y2＝16x，所以2p＝16，解得p＝8，所以准线方程为x＝－＝－4，又因为点M到焦点的距离为8，所以点M到准线的距离为8，设点M到y轴的距离为m，则有m＋4＝8，所以m＝4．故选A． 3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　) A．3 B．2 C． D． 答案　A 解析　如图，由于倾斜角α＝60°，|AA′|＝|AM|＋|A′M|＝|AF|cosα＋p，又|AA′|＝|AF|，得|AF|＝，同理得|BF|＝，则＝＝＝3． 4．给出下列命题： ①到定点F(－1，0)的距离和到定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ②到定点F(2，1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线． 其中假命题是________(填序号)． 答案　② 解析　由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题． 知识点二　抛物线的标准方程及应用 5．准线方程为x＝－2的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 答案　D 解析　因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x．故选D． 6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，则“p>”是“F到l的距离大于1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为F到l的距离为p，所以“p>”是“F到l的距离大于1”的必要不充分条件．故选B． 7．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为＝1，所以p＝2．故选C． 8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段MF与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若|MA|＝3|AB|＝3，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　设l与x轴的交点为H，由O为FH的中点，知A为MF的中点，因为|MA|＝3|AB|＝3，所以|MF|＝6，|BF|＝2，|BM|＝4．过点B作BQ⊥l，垂足为Q，则由抛物线的定义可知|BQ|＝|BF|＝2，所以|BM|＝2|BQ|，则|MF|＝2|FH|＝6，所以p＝|FH|＝3．故选C． 9．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|－|PF|的最大值为________，最小值为________． 答案　3　－3 解析　如图，可判断A，F都在抛物线的内侧，∴||PA|－|PF||≤|FA|(当且仅当P，A，F三点共线时，等号成立)，即－|FA|≤|PA|－|PF|≤|FA|，而|FA|＝3，∴|PA|－|PF|的最大值是3，最小值是－3． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)，点M到直线x＝－3的距离比到点F的距离大2，记点M的轨迹为C，求C的方程． 解　由点M到直线x＝－3的距离比到点F的距离大2， 可转化为点M到直线x＝－1的距离等于到F(1，0)的距离， 所以点M的轨迹是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线， 可得＝1，所以p＝2，所以C的方程为y2＝4x． 一、选择题 1．抛物线y2＝8x的准线方程是(　　) A．x＝－2 B．x＝－4 C．y＝－2 D．y＝－4 答案　A 解析　∵y2＝8x＝2×4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2． 2．抛物线x2＝16y的焦点到点(2，5)的距离为(　　) A．2 B． C． D．4 答案　B 解析　抛物线x2＝16y的焦点为F(0，4)，所以点(2，5)到焦点的距离d＝＝．故选B． 3．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，点P的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2． 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则(　　) A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F| B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2 C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F| D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F| 答案　C 解析　由点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|．故选C． 5．[多选]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴交于点R，若∠NRF＝60°，则(　　) A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1 C．|FP|＝4 D．|FR|＝2 答案　ACD 解析　如图所示，连接MF，QF，∵y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为l：x＝－1，P为抛物线C上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|，∵M，N分别为PQ，PF的中点，∠NRF＝60°，∴MN∥QF，∴∠QFH＝∠NRF＝60°．∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR，∴∠FQP＝∠QFH＝60°，故A正确；∵|PQ|＝|PF|，∴△PQF为等边三角形，∵QH⊥HF，∴|QF|＝2|FH|＝4，∴|FP|＝|PQ|＝|QF|＝4，故C正确；由C项分析知MF⊥PQ，∴四边形QMFH为矩形，∴|QM|＝|FH|＝2，故B错误；∵PQ∥OR，MN∥QF，∴四边形QMRF为平行四边形，∴|FR|＝|QM|＝2，故D正确．故选ACD． 二、填空题 6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点M(x0，3)，点M到抛物线C的焦点F的距离为3，则抛物线C的准线方程为________． 答案　x＝－ 解析　由题知解得x0＝，p＝3，故抛物线C的准线方程为x＝－＝－． 7．已知点A(0，2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过点B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________． 答案　 解析　由抛物线的定义可得|BM|＝|BF|，F，又AM⊥MF，故点B为线段FA的中点，即B，所以1＝2p×，所以p＝． 8．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________． 答案　1＋ 解析　由正方形的定义可知|BC|＝|CD|，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋． 三、解答题 9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点P(m，2)到焦点F的距离为6． (1)求m的值及抛物线C的标准方程； (2)若0<p<5，点Q为抛物线C上一动点，M为线段FQ的中点，试求点M的轨迹方程． 解　(1)因为抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点P(m，2)到焦点的距离为6， 所以(2)2＝2pm，　① m＋＝6，　② 由①②可得或 所以当m＝5时，抛物线C的标准方程为y2＝4x； 当m＝1时，抛物线C的标准方程为y2＝20x． (2)因为0<p<5，由(1)可得，抛物线的方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，设M(x，y)，Q(x0，y0)， 由题意可得则 即Q(2x－1，2y)， 将Q的坐标代入抛物线的方程，得(2y)2＝4(2x－1)， 即y2＝2x－1， 即点M的轨迹方程为y2＝2x－1． 10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)， 准线方程为x＝－1． 由抛物线的定义，知|PF|＝d， 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值． 如图，连接AF，交抛物线于点P， 则|PA|＋d的最小值为＝． (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中， 得y＝±2， 因为2＞2， 所以点B在抛物线内部． 过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)， 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|， 则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4． 即|PB|＋|PF|的最小值为4． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$