2.3.1 抛物线及其标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦抛物线及其标准方程，涵盖定义、几何图形、标准方程及应用。通过直尺、三角尺和细绳的动手操作导入，引导学生观察抛物线形成过程，衔接圆锥曲线知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于融合直观想象与数学抽象，实验操作助学生建立概念，题型含直接法、待定系数法及定义应用，母题探究与跟踪训练提升逻辑思维，培养用数学眼光观察、思维思考的核心素养，促进自主学习与能力迁移。

3.1　抛物线及其标准方程 课标 要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）. 把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线. 【问题】　你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的　　　　　　的点的集合（或轨迹）叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的　　　　，这条定直线l叫作抛物线的　　　　. 【想一想】 　在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 提醒：四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）标准方程y2＝2px（p＞0）中的p的几何意义是焦点到准线的距离.（　　） （2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（　　） （3）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（　　） （4）焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py（p＞0），也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.（　　） 2.若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是（　　） A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 3.抛物线x＝4y2的准线方程是（　　） A.y＝ B.y＝－1 C.x＝－ D.x＝ 4.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M（m，－2）到焦点的距离为4，则m＝　　　　. 　　 题型一　求抛物线的标准方程 角度1　直接法求抛物线的方程 求满足下列条件的抛物线标准方程： （1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6； （2）准线方程为x＝； （3）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 尝试解答 通性通法 　　在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程. 角度2　待定系数法求抛物线的方程 （1）顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是（　　） A.y2＝－4x B.x2＝4y C.y2＝－4x或x2＝4y D.y2＝4x或x2＝－4y （2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为　　　　　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 通性通法 　　根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类： （1）焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx（m≠0），m＞0时焦点在x轴的正半轴上，m＜0时焦点在x轴的负半轴上； （2）焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以设为x2＝my（m≠0），m＞0时焦点在y轴的正半轴上，m＜0时焦点在y轴的负半轴上. 1.已知抛物线的焦点坐标是（－1，0），则抛物线的标准方程是（　　） A.x2＝4y B.x2＝－4y C.y2＝4x D.y2＝－4x 2.准线与直线x＝1的距离为3的抛物线的标准方程是　　　　　　　　. 题型二　抛物线定义的应用 角度1　两种距离的转化 （1）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为（　　） A.（6，9） B.（－4，4） C.（±6，9） D.（±4，4） （2）若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程. 尝试解答 【母题探究】 　（变设问）若本例（2）中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标. 通性通法 　　根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点、点距离与点、线距离的相互转化，从而简化某些问题. 角度2　最值问题 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 2.（变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 通性通法 利用抛物线定义研究最值的一般思路 （1）若点M在抛物线的内部，过点M作准线的垂线，该垂线与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点M的距离最小； （2）若点M在抛物线的外部，连接MF，则MF与抛物线的交点P可使｜PF｜＋｜PM｜的值最小. 1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（　　） A.1　　　 B.2 C.4　　　 D.8 2.已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为　　　　. 1.已知动点M的坐标满足方程5＝｜3x＋4y－12｜，则动点M的轨迹是（　　） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　） A.（1，0） B. C. D.（0，1） 3.已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为（　　） A.y2＝－2x B.x2＝－2y C.y2＝－4x D.x2＝－4y 4.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6.若点P为抛物线C的准线上的动点，则｜PO｜＋｜PA｜的最小值为（　　） A.4 B.4 C.4 D.6 5.若抛物线y2＝－2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为　　　　. 完成课后作业　第二章　§3　3.1 答案 3.1　抛物线及其标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 距离相等　焦点　准线 想一想 提示：不是. 知识点二 y2＝2px（p＞0）　　x＝－ y2＝－2px（p＞0）　　x＝ x2＝2py（p＞0）　　y＝－ x2＝－2py（p＞0）　 y＝ 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）√ 2.A　动点P的条件满足抛物线的定义.故选A. 3.C　由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.故选C. 4.±4　解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将（m，－2）代入上式，得m2＝16.∴m＝±4. 【典例研析】 【例1】　解：（1）由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y. （2）由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x. （3）对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）. 当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 【例2】　（1）C　（2）x2＝10y或x2＝－10y 解析：（1）设抛物线方程为y2＝－2p1x（p1＞0）或x2＝2p2y（p2＞0），把（－4，4）代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C. （2）已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my（m≠0），由焦点到准线的距离为5，知｜m｜＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 跟踪训练 1.D　由题意知抛物线的焦点在x轴负半轴上，且＝1，得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选D. 2.y2＝8x或y2＝－16x　解析：由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0）.当m＞0时，2p＝m，所以p＝，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得1－＝3，所以m＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x；当m＜0时，2p＝－m，所以p＝－，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得＝3，所以m＝8或m＝－16，显然m＝8不合题意，所以m＝－16，所以抛物线的方程为y2＝－16x.综上，抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝－16x. 【例3】　（1）C　设点P（x0，y0），由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.所以P点坐标为（±6，9）. （2）解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大， 所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等. 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线（不包含原点）， 其方程应为y2＝2px（p＞0）的形式， 而＝，所以p＝1，2p＝2， 故点M的轨迹方程为y2＝2x（x≠0）. 母题探究 解：设点N的坐标为（x0，y0），则｜NF｜＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x（x≠0），所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或. 【例4】　解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知， 当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝ ＝. 母题探究 1.解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±. 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线x＝－的距离为d， 则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是. 即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是. 2.解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q， ｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥｜A1F｜min. ｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离，d＝＝1.即所求最小值为1. 跟踪训练 1.A　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. 2.3　解析：由抛物线C：x2＝12y可知其焦点坐标为（0，3），准线方程为y＝－3，记抛物线C的焦点为F（0，3），所以｜PG｜＋｜PM｜＝｜PG｜＋｜PF｜－2≥｜FG｜－2＝－2＝3，当且仅当点P为线段FG与抛物线的交点时等号成立，所以｜PG｜＋｜PM｜的最小值为3. 随堂检测 1.C　方程5＝｜3x＋4y－12｜可化为＝.它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线. 2.C　由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C. 3.C　因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px.又因为p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选C. 4.C　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，因为｜AF｜＝6，所以点A到准线的距离为6，即点A的横坐标为4，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为（4，4）.因为坐标原点O关于准线的对称点B的坐标为（－4，0），所以｜PO｜＝｜PB｜，所以｜PO｜＋｜PA｜的最小值为｜AB｜＝＝4. 5.（－9，6）或（－9，－6）　解析：由抛物线方程y2＝－2px（p＞0），得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－（－9）＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M（－9，y）在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为（－9，6）或（－9，－6）. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $