2.2.2 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 2．2　双曲线的简单几何性质 知识点一　双曲线的几何性质 1．已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的虚轴长为(　　) A．1 B．2 C． D．2 答案　D 解析　由双曲线C：y2－＝1，可知该双曲线的虚轴长为2b＝2．故选D． 2．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 答案　A 解析　∵双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若直线x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，只有A项符合题意．故选A． 3．已知双曲线C：－x2＝1(m>0)的离心率e＝，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　由题意知，a＝，b＝1，所以c＝＝，而e＝＝＝，所以m＝4，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±2x．故选A． 4．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程． 解　把双曲线方程化为标准形式为－＝1， 由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2． 顶点坐标是(－1，0)，(1，0)． c＝＝＝， 所以焦点坐标是(－，0)，(，0)． 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±2x． 知识点二　由双曲线的几何性质求标准方程 5．[多选]实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程可能是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　AB 解析　实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是x2－＝1或y2－＝1．故选AB． 6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率为，则C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　B 解析　由右焦点为F(3，0)可知c＝3，又因为离心率为，所以＝，所以a＝2．由c2＝a2＋b2知b2＝5，故C的标准方程为－＝1．故选B． 7．中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1，3)，且离心率为的双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　D 解析　由离心率为，得e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b．故设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，所以所求双曲线的标准方程为－＝1． 知识点三　双曲线的离心率问题 8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则其离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] 答案　D 解析　依题意，知(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴≤a，解得e≤．又e>1，∴1<e≤．故选D． 9．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　不妨设点P在双曲线右支上，由题意，得解得 又|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小． 由余弦定理，得＝cos30°，∴2ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，∴e＝． 10．已知椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2－e1的取值范围． 解　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c， 由椭圆的定义可得m＋n＝2a1， 由双曲线的定义可得m－n＝2a2， 解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 由|F1F2|＝4|PF2|，可得n＝c，即a1－a2＝c， 由e1＝，e2＝，可得－＝， 由0<e1<1，可得>1，可得>，即1<e2<2， 则e2－e1＝e2－＝， 设2＋e2＝t(3<t<4)， 则＝＝t＋－4， 由于函数f(t)＝t＋－4在(3，4)上单调递增， 所以f(t)∈，即e2－e1的取值范围为． 一、选择题 1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 答案　B 解析　由已知，知＝2，c－a＝1，∴c＝2，a＝1．∴b2＝c2－a2＝3．∴所求双曲线的方程为x2－＝1． 2．如果椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A． B． C． D．2 答案　A 解析　由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2．∴＝＝．∴双曲线的离心率为． 3．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是3，则其渐近线的方程为(　　) A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．x±8y＝0 D．8x±y＝0 答案　A 解析　由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是3，得＝3，又c2＝a2＋b2，则＝．则其渐近线的方程为x±2y＝0． 4．已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　) A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1 答案　A 解析　在椭圆中，a1＝m，c1＝，e1＝．在双曲线中，a2＝n，c2＝，e2＝．因为c1＝c2，所以n2＝m2－2，可得m>n．从而ee＝＝，令t＝m2－1，则t>1，ee＝>1，即e1e2>1．故选A． 5．[多选]定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．下列关于共轭双曲线的结论正确的是(　　) A．与－＝1(a>0，b>0)共轭的双曲线是－＝1(a>0，b>0) B．互为共轭的双曲线的渐近线不相同 C．互为共轭的双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2≥2 D．互为共轭的双曲线的四个焦点在同一圆上 答案　CD 解析　对于A，根据所给定义可得与－＝1(a>0，b>0)共轭的双曲线是－＝1(a＞0，b＞0)，故A错误；对于B，由双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a>0，b>0)，可得其渐近线方程均为y＝±x，故B错误；对于C，由双曲线方程－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a＞0，b＞0)，可得e＝，e＝，则＋＝＋＝1，即e＋e＝ee，所以ee＝e＋e≥2e1e2，则e1e2≥2，当且仅当e1＝e2＝时取等号，故C正确；对于D，－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(±，0)，－＝1(a＞0，b＞0)的焦点坐标为(0，±)，这四个焦点在以原点为圆心，为半径的圆上，故D正确．故选CD． 二、填空题 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，一个焦点坐标为(，0)，则a＝________，b＝________． 答案　1　2 解析　由题意知，一条渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1． 7．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为________． 答案　 解析　如图，由题意，把x＝代入x2＋y2＝a2，得|PQ|＝2，再由|PQ|＝|OF|，得2＝c，即2a2＝c2，∴＝2，∴e＝＝． 8．设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________． 答案　 解析　设F(c，0)，PF的中点为M(0，b)，则P(－c，2b)，将点(－c，2b)代入双曲线方程，可得－＝1，可得e2＝＝5，解得e＝． 三、解答题 9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点坐标是(0，6)，且离心率是1．5； (2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)． 解　(1)∵一个顶点坐标为(0，6)，设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴a＝6． 又e＝1．5， ∴c＝ae＝6×1．5＝9，b2＝c2－a2＝45． 故所求双曲线的标准方程为－＝1． (2)解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 令x＝－3，得y＝±4， ∵2<4， ∴点(－3，2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间， ∴双曲线焦点在x轴上． 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则 解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1． 解法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， ∴－＝λ． ∴λ＝，∴双曲线的标准方程为－＝1． 10．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，A1，A2分别是双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线C上． (1)若|A1A2|＝4b，点P(2，－1)，求双曲线C的方程； (2)当P异于点A1，A2时，直线PA1与PA2的斜率之积为2，求双曲线C的离心率． 解　(1)由题意知解得 故双曲线C的方程为－y2＝1． (2)设点P(x0，y0)，则－＝1， 即＝， 又A1(－a，0)，A2(a，0)， 则有kPA1·kPA2＝·＝＝＝2， ∴2a2＝b2＝c2－a2，从而＝． ∴双曲线C的离心率为． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$