2.2.1 双曲线及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 知识点一　双曲线的定义 1．平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 答案　D 解析　根据题意，得||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6>4，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6．故选D． 2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　) A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 答案　A 解析　因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选A． 3．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程． 解　如图所示，由题意，得定圆圆心C1(－3，0)，C2(3，0)，半径r1＝3，r2＝1，设动圆圆心为C(x，y)，半径为r， 则|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1． 两式相减，得|CC1|－|CC2|＝2<|C1C2|＝6， ∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支． ∵a＝1，c＝3， ∴b2＝c2－a2＝8． ∴动圆圆心C的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)． 知识点二　双曲线的标准方程 4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．y2－＝1 D．－＝1 答案　A 解析　由双曲线的定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1．故选A． 5．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 答案　B 解析　由题意，得34－n2＝n2＋16，2n2＝18，解得n＝±3．故选B． 6．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3或k<－3．故“k>3”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 7．[多选]已知双曲线的两焦点在坐标轴上且关于原点对称，一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，c＝a，则双曲线的方程可以为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　AD 解析　当双曲线的焦点在x轴上时，令y＝0，则x＝－4，∴双曲线的焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，∴c＝4，又c＝a，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝16－＝，故双曲线的方程为－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，令x＝0，则y＝10，∴双曲线的焦点坐标分别为(0，－10)，(0，10)，∴c＝10，又c＝a，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线的方程为－＝1．故选AD． 知识点三　双曲线的标准方程的综合应用 8．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4． 9．为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区，△ABC为小型鱼塘，养鱼供休闲垂钓，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆区域为农家乐活动住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，该农户在矩形BCMN果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 答案　D 解析　由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从点A出发经B到P，所走的路程是一样的，即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|，又|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|，根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线．故选D． 10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左、右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC． (1)求线段AB的长度； (2)求顶点C的轨迹方程． 解　(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1，可得A(－2，0)，B(2，0)，故|AB|＝4． (2)∵sinB－sinA＝sinC， 由正弦定理，得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4， 即动点C到两定点A，B的距离之差为定值， ∴动点C的轨迹是双曲线的右支(去掉与x轴的交点)，且c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3． 故顶点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)． 一、选择题 1．设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长为(　　) A．22 B．16 C．14 D．12 答案　A 解析　由双曲线的定义知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，又|F1F2|＝10，所以△F1PF2的周长为22． 2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案　B 解析　原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0，3)，可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0，c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1．故选B． 3．若圆O：x2＋y2＝4过双曲线－＝1的实轴端点，且圆O与直线l：y＝x＋b相切，则该双曲线的焦距为(　　) A．2 B．4 C．4 D．4 答案　D 解析　圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为r＝2，因为圆O：x2＋y2＝4过双曲线－＝1的实轴端点，所以a＝2，又圆O与直线l：y＝x＋b相切，所以＝2，则b＝2，故c＝2．所以双曲线的焦距为4．故选D． 4．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A． B．± C．－ D．± 答案　D 解析　在△ABC中，∵sinA＝，sinB＝，sinC＝＝，其中R为△ABC外接圆的半径，∴＝＝．又|BC|－|AC|＝±8， ∴＝±＝±． 5．[多选]已知点P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A．点P的横坐标为 B．△PF1F2的周长为 C．∠F1PF2小于 D．△PF1F2内切圆的半径为 答案　ABC 解析　设△PF1F2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，如图．双曲线E：－＝1中的a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(m，n)，m>0，n>0，由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4，由－＝1，可得m＝，故A正确；由P，且F1(－5，0)，F2(5，0)，可得|PF1|＋|PF2|＝＋＝＋＝，则△PF1F2的周长为＋10＝，故B正确；由kPF1＝，kPF2＝，得tan∠F1PF2＝＝∈(0，)，则∠F1PF2<，故C正确；设△PF1F2内切圆的半径为r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，所以r＝20，解得r＝，故D不正确．故选ABC． 二、填空题 6．若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________． 答案　9 解析　由题意知，a＝4，b＝，c＝5，又由a2＋b2＝c2，得16＋m＝25，∴m＝9． 7．已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为________． 答案　 解析　因为c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3．设点P的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得|y|＝，所以S△OPF＝|OF|·|y|＝． 8．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案　－＝1 解析　设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，∴·＝－1，∴c＝5．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过点P(4，－3)，∴－＝1，又c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9．∴双曲线的标准方程为－＝1． 三、解答题 9．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆：x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． 解　设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点． 由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2． 所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|． 又B是圆：x2＋(y－)2＝1上的点， 圆心为C(0，)，半径为1， 故|BD|≥|CD|－1＝－1． 从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1． 当点M，B在线段CD上时取等号， 即|MA|＋|MB|的最小值为＋1． 10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12，求双曲线的标准方程． 解　由双曲线的定义， 得||PF1|－|PF2||＝2a， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos60°＝ ＝， ∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2． ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60° ＝2b2·＝b2． ∴b2＝12，即b2＝12． 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4． ∴双曲线的标准方程为－＝1． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$