2.1.2 椭圆的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 1．2　椭圆的简单几何性质 知识点一　椭圆的几何性质 1．椭圆25x2＋9y2＝1上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A．|x|≤5，|y|≤3 B．|x|≤，|y|≤ C．|x|≤3，|y|≤5 D．|x|≤，|y|≤ 答案　B 解析　椭圆方程可化为＋＝1，所以a＝，b＝，所以|x|≤，|y|≤．故选B． 2．[多选]下面是关于曲线4x2＝12－3y2对称性的一些叙述，其中正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案　ABC 解析　曲线方程4x2＝12－3y2可化为＋＝1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴、y轴、原点对称．将曲线方程中的x换成y，y换成x，得＋＝1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线y＝x对称．故选ABC． 3．[多选]已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 答案　ABC 解析　椭圆C：16x2＋4y2＝1化为标准形式为＋＝1，可得a＝，b＝，则c＝＝，故长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝，焦距为2c＝，离心率为e＝＝＝．故选ABC． 4．[多选]设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　) A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为 C．存在点P，使PF1⊥PF2 D．|PF1|的取值范围是[1，3] 答案　ABD 解析　由椭圆方程可知，a＝2，b＝，从而c＝＝1．根据椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6，A正确．设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，则S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|．因为0<|y0|≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，B正确．当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2最大，此时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C错误．当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|＝a＋c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，所以|PF1|的取值范围是[1，3]，D正确．故选ABD． 5．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 答案　① 解析　x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝．因为e1>e2，所以①更扁． 知识点二　由椭圆的几何性质求方程 6．已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>0，b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案　A 解析　直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1，0)，(0，2)，由题意得c＝1，b＝2，所以a＝＝，所以椭圆的方程为＋＝1．故选A． 7．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝25，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9 答案　D 解析　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9． 8．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程为________． 答案　＋＝1 解析　由2a＝18，得a＝9．又因为2c＝＝6，所以c＝3．所以b2＝a2－c2＝81－9＝72．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1． 知识点三　椭圆的离心率问题 9．设椭圆C1：＋y2＝1，C2：＋＝1(0<b<3)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案　B 解析　对于椭圆＋＝1(a>b>0)，有e＝＝＝＝．因为e2＝e1，所以＝×，解得b＝2．故选B． 10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若|OM|＝|MF1|＝|OP|，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C．－1 D． 答案　C 解析　设椭圆E的右焦点为F2．因为|OM|＝|MF1|＝|OP|，所以∠F1PO＝30°，∠MF1F2＝60°，连接MF2，可得△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，则c＋c＝2a，则离心率e＝＝＝－1．故选C． 11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围为________． 答案　 解析　在△F1PF2中，∠F1PF2＝，由余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，由于|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|．结合均值不等式，可得4a2－4c2＝3|PF1|·|PF2|≤3＝3a2(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时等号成立)，即a2≤4c2，可得e≥，又e<1，所以椭圆离心率的取值范围是． 一、选择题 1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案　B 解析　椭圆9x2＋4y2＝36的标准方程为＋＝1，该椭圆的焦点坐标为(0，±)，设所求椭圆的长半轴长为a，则a＝＝5，故所求椭圆的标准方程为＋＝1．故选B． 2．椭圆＋＝1的长轴长为6，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为椭圆＋＝1的长轴长为6，所以椭圆的焦点在y轴上，且m＝32＝9，所以椭圆的离心率为＝．故选B． 3．[多选]已知椭圆C：＋＝1(8<m<12)的焦距为4，则(　　) A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的倍 C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为＋ 答案　BC 解析　因为8<m<12，所以12－m<4<m－4，所以椭圆C的焦点在y轴上，故A不正确；又因为焦距为4，所以c＝2，所以(m－4)－(12－m)＝c2＝4，所以m＝10，所以长轴长为2＝2＝2，短轴长为2＝2＝2，因为＝，故B正确；因为a＝＝，c＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝，故C正确；椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c＝＋2，故D不正确．故选BC． 4．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|＝λ|PF2|，∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a，可设|PF2|＝t，可得|PF1|＝λt，即有(λ＋1)t＝2a　①，由∠F1PF2＝，可得|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即为(λ2＋1)t2＝4c2　②，由②÷①2，可得e2＝．令m＝λ＋1，可得λ＝m－1，即有e2＝＝＝2＋，由≤λ≤2，可得≤m≤3，即≤≤，则当m＝2时，e2取得最小值；当m＝或m＝3时，e2取得最大值，即≤e2≤，解得≤e≤．故选B． 5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△F1QF2的重心为G，内心为I，且＝λ，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，设Q(x0，y0)．∵G为△F1QF2的重心，∴点G的坐标为．∵＝λ，则∥，∴I的纵坐标为．又|QF1|＋|QF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴S△F1QF2＝·|F1F2|·|y0|．又I为△F1QF2的内心，∴即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1QF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴S△F1QF2＝(|QF1|＋|F1F2|＋|QF2|)，即×2c×|y0|＝(2a＋2c)·，∴2c＝a，∴椭圆的离心率为e＝．故选A． 二、填空题 6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________． 答案　＋y2＝1或＋x2＝1 解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝()2，即a2＝4．所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1． 7．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________． 答案　 解析　由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝＝． 8．有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为100 m，短轴长为60 m．现要在该溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为________ m． 答案　160 解析　由题意，知2a＝100，2b＝60，则a＝50，b＝30．假设椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，则椭圆的方程为＋＝1．设矩形与椭圆在第一象限的交点坐标为(m，n)，则这个矩形的面积为2m·2n＝4mn．m2n2＝m2×＝－(m2－1250)2＋562500．当m2＝1250，即m＝25时，m2n2取得最大值，此时矩形的面积也取得最大值．这时n＝15，矩形的周长为4×(25＋15)＝160(m)． 三、解答题 9．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|＝|PD|．当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程． 解　设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)， 因为点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|＝|PD|， 所以xP＝x，且yP＝y． 因为P在圆x2＋y2＝25上， 所以x2＋＝25，整理得＋＝1， 即点M的轨迹C的方程是＋＝1． 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P． (1)若∠F1PF2为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程； (2)若∠F1PF2为锐角，求椭圆C的离心率的取值范围． 解　(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角， 所以b＝c，a＝c， 又焦距为2，所以c＝1，a＝，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为锐角， 所以0°<∠OPF2<45°(O为坐标原点)， 所以sin∠OPF2＝∈， 所以椭圆C的离心率的取值范围为． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$