2.1.1 椭圆及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §1　椭圆 1．1　椭圆及其标准方程 知识点一　椭圆的定义 1．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　) A．16 B．18 C．20 D．不确定 答案　B 解析　∵a＝5，b＝3，∴c＝4．又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋8＝18．故选B． 2．[多选]已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．故选AC． 3．已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝________． 答案　2 解析　设右焦点为F2，连接F2M，∵O是F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝|MF2|．又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2． 知识点二　求椭圆的标准方程 4．写出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a＝5，c＝2； (2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (3)椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离之和等于4； (4)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解　(1)由b2＝a2－c2得b2＝25－4＝21． 所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1． (2)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知，得⇒ 所求椭圆的标准方程是＋＝1． ②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由已知，得⇒ 与a>b>0矛盾，此种情况不存在． 综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1． 解法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 故⇒ 即所求椭圆的标准方程是＋＝1． (3)焦点在x轴上时，由点在椭圆上， 得＋＝1， 又2a＝4，所以a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1； 焦点在y轴上时，计算可得椭圆C的标准方程为＋＝1． 综上，椭圆C的标准方程为＋＝1或＋＝1． (4)解法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1， 则焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)． 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， ∵点M在椭圆上， ∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝ ＋＝(2－)＋(2＋)＝4， ∴a＝2，即a2＝12，∴b2＝a2－c2＝12－4＝8， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1． 解法二：由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)， 将x＝2，y＝代入，得＋＝1， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1． 5．求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 解　易知点P在圆内， 由x2＋6x＋y2－91＝0得(x＋3)2＋y2＝102， 圆心为C1(－3，0)，半径R＝10． 设动圆的圆心为C(x，y)，半径为r， 依题意有 消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10． 因为P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10， 所以点C的轨迹是以P，C1为焦点的椭圆， 所以c＝3，2a＝10，所以a＝5，从而b＝4， 故所求动圆圆心的轨迹方程为＋＝1． 知识点三　椭圆标准方程的应用 6．若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝(　　) A．－1 B．1 C． D．－ 答案　B 解析　由椭圆方程5x2＋ky2＝5，得x2＋＝1．因为焦点(0，2)在y轴上，所以a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1＝4，解得k＝1．故选B． 7．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________． 答案　(0，1) 解析　方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则必有＞2，且k＞0，即0＜k＜1． 8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b＝________． 答案　3 解析　由题意，得解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3． 一、选择题 1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9，8) B．(8，25) C．(16，25) D．(8，＋∞) 答案　B 解析　依题意，有解得8＜m＜25．故选B． 2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案　C 解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，令x＝c，则y＝±，由|AB|＝3，得＝3，又a2－b2＝c2＝1，所以a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1． 3．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为1，则△PF1F2是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4．又|PF1|－|PF2|＝1，∴|PF1|＝，|PF2|＝．又|F1F2|＝2c＝2×＝2，∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，∴△PF1F2为直角三角形．故选B． 4．已知F(1，0)为椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为(　　) A．6＋ B．6 C．6＋2 D．6＋ 答案　A 解析　由于椭圆的焦点为F(1，0)，所以c＝1且焦点在x轴上，则9>m>0，且＝1，得m＝8，所以椭圆方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，如图，设左焦点为F1，根据椭圆的定义得|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF1|＝6＋|PA|－|PF1|≤6＋|AF1|＝6＋，当P是AF1的延长线与椭圆的交点时，等号成立，所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋．故选A． 5．[多选]已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，则(　　) A．|PM|－|PF1|的最大值为 B．|PM|－|PF1|的最小值为－ C．|PM|＋|PF1|的最大值为10＋ D．|PM|＋|PF1|的最小值为 答案　ABC 解析　由椭圆方程知a＝5，F1(－3，0)，F2(3，0)．对于A，由于三角形两边之差小于第三边，连接MF1并延长交椭圆于点P1，则点P1是使|PM|－|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|－|PF1|)max＝|MF1|＝＝，A正确；对于B，|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM|的最大值，连接F1M并延长交椭圆于点P2，则点P2是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－，B正确；对于C，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则点P3是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2|＝10＋＝10＋，C正确；对于D，|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，连接F2M并延长交椭圆于点P4，则点P4是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即|PM|＋|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－，D错误．故选ABC． 二、填空题 6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是__________． 答案　3或5 解析　∵2c＝2，∴c＝1．当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，∴c2＝m－4＝1，∴m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3． 7．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是__________． 答案　9 解析　由已知，得a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|·|PF2|≤＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，等号成立．故|PF1|·|PF2|的最大值为9． 8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________． 答案　(0，±1) 解析　根据题意，知F1(－，0)，F2(，0)．设点A的坐标为(m，n)，点B的坐标为(c，d)．可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．∵＝5，∴∴c＝，d＝．∵点A，B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋＝1．解得m＝0，n＝±1，故点A的坐标为(0，±1)． 三、解答题 9．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程． 解　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|， 又|CQ|＝4，∴|MC|＋|MA|＝4． 又|AC|＝2，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的椭圆． 由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3． ∴点M的轨迹方程为＋＝1． 10．已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|． (1)求此椭圆的标准方程； (2)若点P满足∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积． 解　(1)由已知得|F1F2|＝2， ∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a， ∴a＝2． ∴b2＝a2－c2＝4－1＝3， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1． (2)在△PF1F2中，由余弦定理， 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30°， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋)|PF1|·|PF2|， ∴4＝(2a)2－(2＋)|PF1|·|PF2|＝16－(2＋)|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝12(2－)， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝×12(2－)×＝6－3． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$