精品解析：重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题

重庆南开中学高2025届高三（上）数学测试 （9.29） 一、单选题：本小题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 2. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 3. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围. 【详解】由题设，过作于，如下图示， 则，可得时，三角形有两解. 当，即时，三角形不存在； 当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形； 当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形； 故选：B 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】因为g（x）＝cos（2x）= sin（2x）= sin（2x），故其图象向右平移个单位，可得函数的图象， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题． 5. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 6. 设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ） A. 若是奇函数，则也一定是奇函数 B. 若是偶函数，则也一定是偶函数 C. 若是周期函数，则也一定是周期函数 D. 若是R上的增函数，则在R上一定是减函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，依据函数的奇偶性，通过反例，可判断AB；根据周期性的定义可判断C，根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可判断D 【详解】对于A，令，对可得；而此时不是奇函数，故错误； 对于B，令，是偶函数，对可得，此时为奇函数，故错误； 对于C，设的周期为， 若，有恒成立， 令，，则， 因为，所以，所以， 所以函数也是周期函数，故正确； 对于D，设， 是上的增函数，所以， 又即为 即为， 所以函数也都是上的单调递增函数，故错误. 故选：C 7. 在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及，表达出，再利用基本不等式求出最值. 【详解】如图所示， 因为，所以， 在Rt△ABD中，，即， 因为， 由正弦定理可得：，即， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】按照、、分类讨论，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围. 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以， 即，与联立得， 因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用正弦定理判断A选项，应用正弦定理结合同角三角函数关系判断B选项，结合余弦定理判断C选项，根据二倍角公式的余弦公式及余弦定理判断D选项. 【详解】因为，所以,,所以,A选项正确； 因为,所以同号，只能同时为正，, 因为单调递减，可得，所以,B选项正确； 因为，所以,又由正弦定理得, 又由余弦定理得,所以为钝角，所以为钝角三角形，C选项错误； 因为，所以 所以， 因为，所以， 则， 所以，故中必有一个是钝角， 所以为钝角三角形，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知一组函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 在上单调递增，在 上单调递减 D. 在上单调递减，在 上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于项，利用不同的的取值，利用三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，，可确定与，三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断. 【详解】对于项，，故项正确； 对于项，因为， 故项正确； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故错误； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故正确． 故选： 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过计算，比较与的关系进行判断，对于B，结合基本不等式分析判断，对于C，举例判断，对于D，对函数求导后，求出其单调区间，进而求出极值判断. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于对称，所以A正确， 对于B， ， 当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C错误， 对于D，由，得， 当时，，所以， 当时，， 令，则， 所以在上递减， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以在处取得极小值， 所以的极小值为，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查诱导公式的应用，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是对函数求导后，对其变形，再次构造函数，利用导数判断其单调性，考查计算能力，属于较难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和题设条件，易求得时的函数解析式. 【详解】当时，，则有， 因函数是定义在区间上的奇函数， 故得. 故答案为：. 13. 南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为____________m． 【答案】 【解析】 【分析】作于，作于E，利用正弦定理及锐角三角函数解三角形计算即可. 【详解】 作于，作于E， 由题意易知，， 易知， ， 所以， 在中，由题意可知， 根据正弦定理有， 所以. 故答案为：. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 生喜欢食堂就餐与性别有关. （2） 【解析】 【分析】（1）补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 喜欢食堂就餐的人数为，则不喜欢的人数为人， 则不喜欢食堂就餐的女生为人，因为男女生人数比为1∶1， 则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为人， 喜欢堂食就餐的男生为人， 则列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设:假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关. 【小问2详解】 记事件：小林同学星期二选择了①号套餐， 事件：小林同学星期四选择了②号套餐, 由全概率公式可得 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形结合周期可求出，再由结合可求得结果； （2）利用三角函数图象变换规律求出，则方程转化为，令，则，再变形后，利用换元法可求出答案. 【小问1详解】 ， 因为最小正周期为，所以，得， 所以， 由，得， 因为，所以当时，，当时，， 所以在区间上的单调递减区间为和； 【小问2详解】 将的图象先向右平移个单位长度，得到， 再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得， 所以， 方程， 即为方程， 令， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以原方程化为， 所以， 令，则，， 因为在上递减，在上递增， 所以当时，，则， 因为当时，，当时，，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数图象变换规律，考查求余弦函数的值域，第（2）问解题的关键是复利用多次换元将问题转化为求对勾函数在闭区间上的值域，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 17. 乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中百米，百米，为正三角形，建成后，将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宜教平台． （1）当时，求旅游休闲区域的面积； （2）设，求旅游休闲区域的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求出.由正弦定理求出，即可得到，利用直角三角形的面积公式即可求得. （2）设，在中，由余弦定理得到，再用正弦定理得到，把三角形面积表示为整理为的函数，利用三角函数求最值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理知，解得． 由正弦定理， 得． 所以． 因为，所以， 所以，所以． 所以． 【小问2详解】 设， 在中，由余弦定理知， ， 所以． 由正弦定理知， 即，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为． 18. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为. （1）求的值； （2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知，当时，设椭圆左焦点为，则，再根据椭圆定义和三角形面积可求得，，的值，即可求得； （2）由题可知点，直线的斜率不为0，设其方程，并和椭圆方程联立，根据韦达定理及相关知识，可确定点的轨迹方程，设直线的倾斜角分别为，则，再根据两角差的正切公式即可求得结果. 【小问1详解】 因为①， 设椭圆的左焦点为，因为，所以. 即，又，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以②，又③， 由①②③，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为， 联立，得， 设，易得，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 因为，所以，解得 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为. 19. 已知，函数，． （1）若函数的最小值是0，求实数m的值； （2）已知曲线在点处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数恰有两个零点； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：因为， 可知的定义域为，， 设，则在内恒成立， 可知函数在上递增， 由（1）可知：当时，， 即，当且仅当时，等号成立， 则， 可得， 又因，由零点的存在性定理可得， 存在，使得，即，（*） 当时，，即，为减函数， 当时，，即，为增函数， 又因为，， 设，则， 所以函数在上递增， 所以，即， 因为，所以，即，所以， 则， 所以，且， 当时，， 所以由的单调性可知，且， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点， ，且， 所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点， 所以函数恰有两个零点， （ⅱ）证明：因为，即， 则， 所以， 有基本不等式可得， 当且仅当，即时，取等号， 由，由可得，这与矛盾，所以， 所以， 要证，即证， 设， 则 所以函数在上递减， 所以当时，， 因为，所以， 所以， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）求得，利用导数分析可知的最小值为，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i）可得要证，即证，先证明，再构造函数，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值为，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 可得，， 即切点坐标为，斜率， 则切线方程为，令，可得， 由题意可得：，且，解得； （i）因为， 可知的定义域为，， 设，则在内恒成立， 可知函数在上递增， 由（1）可知：当时，， 即，当且仅当时，等号成立， 则， 可得， 又因，由零点的存在性定理可得， 存在，使得，即，（*） 当时，，即，为减函数， 当时，，即，为增函数， 又因为，， 设，则， 所以函数在上递增， 所以，即， 因为，所以，即，所以， 则， 所以，且， 当时，， 所以由的单调性可知，且， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点， ，且， 所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点， 所以函数恰有两个零点， （ii）因为，即， 则， 所以， 有基本不等式可得， 当且仅当，即时，取等号， 由，由可得，这与矛盾，所以， 所以， 要证，即证， 设， 则 所以函数在上递减， 所以当时，， 因为，所以， 所以， 又，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2025届高三（上）数学测试 （9.29） 一、单选题：本小题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ） A. 若是奇函数，则也一定是奇函数 B. 若是偶函数，则也一定是偶函数 C. 若是周期函数，则也一定是周期函数 D. 若是R上的增函数，则在R上一定是减函数 7. 在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 10. 已知一组函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 在上单调递增，在 上单调递减 D. 在上单调递减，在 上单调递增 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时_________. 13. 南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为____________m． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 17. 乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中百米，百米，为正三角形，建成后，将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宜教平台． （1）当时，求旅游休闲区域的面积； （2）设，求旅游休闲区域的面积的最大值． 18. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为. （1）求的值； （2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 19. 已知，函数，． （1）若函数的最小值是0，求实数m的值； （2）已知曲线在点处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数恰有两个零点； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $