精品解析：重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题

命学科网组卷网 重庆南开中学高2025届高三（上）数学测试 (9.29) 一、单选题：本小题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.下列说法中正确的个数是() ①终边相同的角一定相等：②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角：④小于9O°的角都是锐角」 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误. 综上，正确的个数是2. 故选：B. 2.如图，将含60角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为弧 BB,若∠BAC=60°，AC=3,则图中阴影部分的面积是() 3 9 A. B. C. D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，计算S扇形BAR'SARC,S。ABc，则阴影部分的面积为S扇形BAB+SABC一S。ABC 第1页/共25页 学科网组卷网 【详解】由短意，扇形818的圆心角为a=45-子且∠B4C=60,4C=3 所以AB=AB'=6, 所以S形gB=)aAB2=×x36=9 1 2 24 , 且Sc=Sc-)×4CxBC'=x3x35-9 2 所以阴影富分的面积为S装B+S,c一54c=97 2 故选：C 3.在ABC中，a=x,b=2,B=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是() A.2<x<2V3 B2<x<45 C.V5<x<2 D.2<x< 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB于D,根据BC,CD,AC的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围 【详解】由题设，过C作CD⊥AB于D,如下图示， [CD=xsin60°<2 则 ,可得2<x< x>2 <45时，三角形有两解， 当xsin60>2,即x>45时，三角形不存在， 3时，△4BC分别对应等边三角形或直角三角形，仅有 当x<2时，在射线BD方向上有一个△ABC,而在射线DB方向上不存在，故此时仅有一个三角形； A D 人60° B 故选：B 4.要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos 2x+2 的图象()》 3 A.向左平移5红个单位长度 个单位长度 6 B向右平移5和 12 第2页/共25页 可学科网可组卷网 C向左平移 个单位长度 D.向右平移弧个单位长度 12 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用函数y=Asin(ox+p)的图象变换规律，得出结论. 【详解】因为g(r)=cos(2x+T)=sin(2x+T+T)=sin(2x+5弧，故其图象向右平移5红 个单位， 32 6 12 可得函数f(x=sin2x的图象， 故选B. 【点晴】本题主要考查函数y=Asin(ox+φ)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题. 5.已知a,B∈(0，)，且cosa= 5,sina+B)=2,则a-B=() 5 5 10 A 3n 元 B. C.-T或 D. 4 44 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与α+阝的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角 公式求得2a,α+阝的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【1同为u=:9所以a居没则ma 2v5 521 5 所以sin2a=2 2sinacosa=2x25x5-4 5551 cos2a=1-2sin2a=1-2× 2v5)2 、5 因为B∈(0，)， 又0<smu+-语、9则a+B行小 10 所以cosa+B)=-sin2a+B)=-7迈 10 故sin(a-β)=sin(2a-(a+B)=sin2acos(a+β)-cos2asin(a+β) 第3页/共25页 命学科网组卷网 因为 (香经Be0,所以a-B=要引 则u-B=-子 故选：A 6.设h(x),gx)是定义在R上的两个函数，若x,x2∈R,x≠2，有h(x)-h(x2)≥g(x)-gx2恒 成立，下列四个命题正确的是() A.若h(x)是奇函数，则gx也一定是奇函数 B.若gx)是偶函数，则h(x)也一定是偶函数 C.若h(x)是周期函数，则gx也一定是周期函数 D.若h(x是R上的增函数，则Hx=h(x-gx)在R上一定是减函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，依据函数的奇偶性，通过反例，可判断AB;根据周期性的定义可判断C,根据函 数单调性的定义，结合不等式的性质可判断D 【详解】对于A,令hx=x,g(x)=1,对x,x2∈R,x≠x2可得 h(x)-h(x,=x-x≥1-1=g(x)-g(x2；而此时g(x不是奇函数，故错误； 对于B,令h(x=x,g(x)=1,gx是偶函数，对x,x2∈R,x≠x2可得 h(x)-h(x2川=x-x≥1-1=g(x)-8(x2,此时h(x)为奇函数，故错误； 对于C,设h(x)周期为T, 若x,x∈R,x≠x2,有h(x)-h(x2gx)-g恒成立， 令x=x+T,x2=x,则h(x+T)-h(x≥g(x+T)-gx, 因为h(x+T)=h(x),所以g(x+T)-g(x≤0，所以gx+T）=g(x), 所以函数y=g(x也是周期函数，故正确： 第4页/共25页 学科网丽组卷网 对于D,设x<x2,hx)是R上的增函数，所以hx)<h(x2, 又h(x)-h(x,川≥gx)-gx即为h(x)-h(x,)<g(G)-g(x)<h(x)-h(x) 即为h(x)-g(x)<h(x2)-g(x2), 所以函数y=h(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数，故错误. 故选：C 7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是abC,A=120°，D是边BC上一点，AB1AD且AD=√3， 则b+2c的最小值是() A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】C 【解析】 6 【分析】利用正弦定理及B+C=60°，表达出b+2C= (V5--tan B)tan B,再利用基本不等式求出最值 【详解】如图所示， A D 因为A=120,所以B+C=60°， tanB'即cs3 在Rt△ABD中，AB=AD, tan B 因为∠CAD=120°-90°=30°， AC 由正弦定理可得： AD b sin∠ADCsinC,即 sin(2B+90)sin(60-B)' 所以b=V3cosB sin(60°-B' 3cos B 23 3cos B 23 所以b+2c=sin60°-B+anBV 2cosB、 2sin B tanB 第5页/共25页 可学科网可组卷网 v3 25 23 2W5 6 V31 tanB√3-tan B tan B (√3-tan Btan B, 22 tan B 因为0°<B<60°，所以0<tanB<√5， 所以b+2c≥ 24 2=8 (√3-tanB+tanB 当且仅当5-an日=Bn8,即an分=5时，等号成立， 2 所以b+2c的最小值为8. 故选：C 8者数四-(-2r+m行r青引aeN)在Q到1喻有3个花，则指合条得的m 的个数是( A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】 【分析】就m>8、m=8、1≤m≤8分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围. 【详解】令fx)=0,则x2-2V2x+m=0或sim mx =0, 4 3 由△=（-22)-m=8-m, 当m>8时，y=-2x+m在0利上有零点， 则y=利位台3个 10π 3 所以2π≤m- <3x,即7≤m< 3 3 3 10π 与m>8联立得8<m< ,因为m∈N,所以m的值依次为9,10： 3 当m=8时，y=x2-2W2x+二m在[0,4上有1个零点√2， y=sm(2x-哥到在04利上有3个号点名7石，不满无题意： 6’36 第6页/共25页 学科网丽组卷网 当1≤m<8时，y=-2W2x+m在[0,4上有2个零点， 故y=smx[04上应1个点， 因为m∈N,所以该零点与y=x2-2V2x+二m的零点不相同， 所以0≤m 红，即飞m<转，与≤m<8联立得飞m<4打 3 3 3 3 因为m∈N,所以m的取值依次为2,3,4，综上得符合条件的m的个数是5. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.在△ABC中，a,b,C分别为角A、B,C的对边，下列叙述正确的是() A.若ac0sB=bc0sA,则△ABC为等腰三角形 B.若atanA=btanB,则△ABC等腰三角形 C.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为锐角三角形 D.若cos2A+cos2B+cos2C>-1,则△ABC为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用正弦定理判断A选项，应用正弦定理结合同角三角函数关系判断B选项，结合余弦定理判断 C选项，根据二倍角公式的余弦公式及余弦定理判断D选项 【详解】因为acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcosA,sinA-B)=0,A,B∈(0，π)，所以A=B,A选 项正确； 因为atanA=btanB,所以sin'A_sin2B cosA,cosB同号，cosA,cosB只能同时为正， cosA cosB cosA,cosB∈0,1， 1 因为y=二-t,t∈0,1单调递减， -cos4=-1 -cosB可得C0sA=CosB,A,B∈0，π，所以 cosA cosB A=B,B选项正确； 因为sin2A+sin2B+cos2C<1,所以sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,又由正弦定理得a2+b2<c2, 第7页/共25页 可学科网可组卷网 又由余弦定理得cosC=0+b- -<0,C∈(O,元)，所以C为钝角，所以ABC为钝角三角形，C选项错 2ab 误； 因为cos2A+cos2B+c0s2C>-1,所以 cos2A+cos[(B+C)+(B-C)+cos[(B+C)-(B-C)7>-1 所以2cos2A+2cosB+C)cosB-C)>0, 因为cosA=-cos(B+C),所以cosA-cosB+C)-cosB-C)]>0, cosA(-cosBcosC+sinAsinB-cosBcosC-sinAsinB)>0, 所以cosAcosBcosC<0,故A,B,C中必有一个是钝角， 所以ABC为钝角三角形，故D正确； 故选：ABD 10己知一组函数f()=sim'x+co0受reN,则下列说法正确的是（) A.f,(x)=1 B.n∈N,f(x)≤V2恒成立 C在0孕上单消递路，左后孕上单调避诚 D)在红0孕上单调避该，在原受上单调避塔 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用不同的”的取值，利用三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于B项， 0≤sinx≤l,0≤cosx≤1，可确定sin"x,cos"x与sinx,c0sx,三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于C 项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断；对于D项，利用三角函数关系式的 恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断。 【详解】对于A项，f(x)=sin2x+cos2x=1,故A项正确： 对于B项，因为x∈[0,1，.()=sin"x+cosx≤sinx+cosx=V反sinx+子≤V2, 41 故B项正确； 第8页/共25页 学科网组卷网 对于C项，f4(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x -1-Isin2x=1-1x1-cos4x-1cos4x+3 3 22 4 4 当xe0牙4x∈0，小，因此（在[0，孕上单调递减， 当xe14re[x,2小，因此()在匠受上单调递增， 故C错误； 对于D项，f(x)=sin6x+cosx=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x-sin2xcos2x) sinx+cosx-sin2 xcos2x=(sin2x+cos2 x)2-3sin2x cos2 x -1-3sin'xcosx=1-3sin2x=1-3.1-cos43 os4x+8 5 4 42 当x∈[0,1,4x∈[0，元]，因此f,()在[0，元]上单调递减， 当xe14e,2,因此)在匠1上单调递增， 故D正确. 故选：ABD ll.已知函数f(x)=esinx+eosr,则() 4fx的图象关于x=灭对称 B.fx·fx+π≥4 C.f(x)+f (-x)>3 D.f(x)在区间 π3π 2’2 上的板小值为2。号 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,通过计算 比较与∫x)的关系进行判断，对于B,结合基本不等式分析判 断，对于C,举例判断，对于D,对函数求导后，求出其单调区间，进而求出极值判断 详解】对于A,因为f)=0 e +e =ecosx +esinx=f(x), 第9页/共25页 命学科网可组卷网 所以f(:)的图象关于x-5对称，所以A正确， 4 对于B,f(x·f(x+元=(esnx+eosr)(esin++eosx+ =(esinco)(e-sinx+ecos) =2ccor eosr≥2+2 esin.r esin.r ecos =4, 当且仅当cosx in =。,即sinr=cosx时取等号，所以B正确， 对于C,因为f(π)+f(-π)=esinz+eos元+ein-)+eo-利 =e+e+e+e=2+2<3,所以C错误， e 对于D,由f(x)=esinx+eosr,得f'(x)=esinx.cosx-eosx·sinx, 当xe[时.60xx0snx>0,所以f)<0. 当xe}时f=eosx-einx sinxcosx, sinx cosx 令g)=g（-1<x<0),则g'0=e-e-e-D<0-1<x<0. 所以g(x)在(-1,0)上递减， 当x∈ 5π ，4 时，-1<cosx<sinx<0,所以g(cosx)>g(sinx), 所以e咖 <0，所以f'(x)<0, sinx cosx 当xe 5π3π 4’2 时，-1<sinx<cosx<0,所以g(cosx)<g(sinx), 所以er ecos >0，所以f'(x)>0, sinx cosx 所以经 5π3π 上递减，在 4’2 上递增， 第10页/共25页 重庆南开中学高2025届高三（上）数学测试 （9.29） 一、单选题：本小题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5 已知，，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ） A. 若是奇函数，则也一定是奇函数 B. 若是偶函数，则也一定是偶函数 C. 若是周期函数，则也一定是周期函数 D. 若是R上的增函数，则在R上一定是减函数 7. 在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 10. 已知一组函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 在上单调递增，在 上单调递减 D. 在上单调递减，在 上单调递增 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C D. 在区间上的极小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时_________. 13. 南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为____________m． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在学校食堂就餐成为了很多学生就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 17. 乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中百米，百米，为正三角形，建成后，将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宜教平台． （1）当时，求旅游休闲区域的面积； （2）设，求旅游休闲区域的面积的最大值． 18. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为. （1）求的值； （2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 19. 已知，函数，． （1）若函数的最小值是0，求实数m的值； （2）已知曲线在点处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数恰有两个零点； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $