第七章 统计案例 体验真题 感悟高考-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

体验真题 感悟高考 答案 解析 一、选择题 1．(2023•新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2．(2023•全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A．120 B．60 C．40 D．30 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 3．(2023•全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 5．(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(　　) A．0．8 B．0．4 C．0．2 D．0．1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 6．[多选](2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 7．[多选](2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0．5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 8．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0．8245，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0．8245 答案 解析　因为相关系数r＝0．8245>0．75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A，B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D错误．故选C． 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 二、填空题 9．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 答案 解析 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 答案 10．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 三、解答题 11．(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：  利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0．5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 时段 价格变化 第1天到第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋ 第21天到第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋ 12．(2023•北京高考)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 用频率估计概率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 解 (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 解 解　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1) ＝0．5×(1－0．6)＋0．5×0．8＝0．6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 14．(2023·全国甲卷)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)． (1)设指定的两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望； (2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好) 对照组： 17.3　18.4　20.1　20.4　21.5　23.2　24.6　24.8　25.0　25.4 26.1　26.3　26.4　26.5　26.8　27.0　27.4　27.5　27.6　28.3 实验组： 5.4　 6.6　 6.8　 6.9　 7.8 　8.2　 9.4　 10.0　10.4　11.2 14.4　17.3　19.2　20.2　23.6　23.8　24.5　25.1　25.2　26.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 (ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表： (ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用？ 参考数据： ＜m ≥m 对照组 实验组 P(K2≥k0) 0．10 0．05 0．010 k0 2．706 3．841 6．635 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 　　　　　　　　　　　　　 R A．Ceq \o\al(45,400)·Ceq \o\al(15,200)种 B．Ceq \o\al(20,400)·Ceq \o\al(40,200)种 C．Ceq \o\al(30,400)·Ceq \o\al(30,200)种 D．Ceq \o\al(40,400)·Ceq \o\al(20,200)种 解析　根据比例分配的分层抽样的定义知，初中部共抽取60×eq \f(400,600)＝40名学生，高中部共抽取60×eq \f(200,600)＝20名学生，根据组合数概念和分步乘法计数原理，不同的抽样结果共有Ceq \o\al(40,400)·Ceq \o\al(20,200)种．故选D． 解析　先从五名志愿者中选择1人连续参加两天社区服务，有Ceq \o\al(1,5)＝5种方法；再从剩余的4人中选择2人分别参加星期六与星期天的社区服务，共有Aeq \o\al(2,4)＝12种方法．所以恰有1人连续参加两天服务的选择种数为5×12＝60．故选B． 解析　首先确定相同的读物，共有Ceq \o\al(1,6)种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物中选出2种进行排列，共有Aeq \o\al(2,5)种情况，根据分步乘法计数原理知，共有Ceq \o\al(1,6)Aeq \o\al(2,5)＝120种选法．故选C． 4．(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于eq \f(π,4)的概率为(　　) A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,6) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2) 解析　因为区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}表示以O(0，0)为圆心，外圆半径R＝2，内圆半径r＝1的圆环，则直线OA的倾斜角不大于eq \f(π,4)的部分如图中阴影所示，在第一象限的部分对应的圆心角∠MON＝eq \f(π,4)，结合对称性可得所求概率P＝eq \f(2×\f(π,8)×（22－12）,π×（22－12）)＝eq \f(1,4)．故选C． 解析　报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，“某人报乒乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝eq \f(50,70)＝eq \f(5,7)，P(AB)＝eq \f(40,70)＝eq \f(4,7)，所以P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(4,7),\f(5,7))＝0．8．故选A． 解析　对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6)－eq \f(x2＋x3＋x4＋x5,4)＝eq \f(2（x1＋x6）－（x2＋x3＋x4＋x5）,12)，因为无法确定2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，例如1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3．5，例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2，例如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，n＝eq \f(11,6)，故A错误；对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为eq \f(x3＋x4,2)，故B正确； 对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如2，4，6，8，10，12，则平均数n＝eq \f(1,6)×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，标准差s1＝eq \r(\f(1,6)[（2－7）2＋（4－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（10－7）2＋（12－7）2]) ＝eq \f(\r(105),3)，例如4，6，8，10，则平均数m＝eq \f(1,4)×(4＋6＋8＋10)＝7，标准差s2＝ eq \r(\f(1,4)[（4－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（10－7）2])＝eq \r(5)，显然eq \f(\r(105),3)>eq \r(5)，即s1>s2，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD． 解析　对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1收到1，发送0收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)·(1－β)2，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1收到1，发送1收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的和事件，它们两两互斥，由选项B知，所求的概率为Ceq \o\al(2,3)(1－β)2β＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；对于D，由C项知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0．5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，D正确．故选ABD． 解析　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,4)种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,4)种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,4)种方案．综上，不同的选课方案共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,4)＝64种． eq \f(1,20) eq \f(3,5) 解析　解法一：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝eq \f(2,5)，P(B)＝25%＝eq \f(1,4)，P(C)＝50%＝eq \f(1,2)，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,20)．设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝eq \f(5,5＋4＋6)＝eq \f(1,3)，P(D2)＝eq \f(4,5＋4＋6)＝eq \f(4,15)，P(D3)＝eq \f(6,5＋4＋6)＝eq \f(2,5)，P(E|D1)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，P(E|D2)＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，P(E|D3)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,5)＋eq \f(4,15)×eq \f(3,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,5)． 解法二：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3．则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为eq \f(2×1×3,5×4×6)＝eq \f(1,20)．将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15个球，其中白球共有3＋3＋3＝9个，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为eq \f(9,15)＝eq \f(3,5)． 解　(1)依题意可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0．002>0．5%，所以95<c<100， 所以(c－95)×0．002＝0．5%，解得c＝97．5， q(c)＝0．01×(100－97．5)＋5×0．002＝0．035＝3．5%． (2)当c∈[95，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0．002＋(100－c)×0．01＋5×0．002＝－0．008c＋0．82≥0．02； 当c∈(100，105]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0．002＋(c－100)×0．012＋(105－c)×0．002＝0．01c－0．98>0．02， 故f(c)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－0.008c＋0.82，95≤c≤100，,0.01c－0.98，100<c≤105，)) 所以f(c)在区间[95，105]的最小值为0．02． 解　(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个“＋”，也就是有16天价格是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格“上涨”的概率为eq \f(16,40)＝0．4． (2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨、下跌、不变的概率分别是0．4，0．35，0．25， 于是未来任取4天，2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率是Ceq \o\al(2,4)×0．42×Ceq \o\al(1,2)×0．35×0．25＝0．168． (3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次， 因此估计第41天不变的概率最大． 13．(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0．6，乙每次投篮的命中率均为0．8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0．5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))Xi)＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)， 即pi＋1＝0．6pi＋(1－0．8)×(1－pi)＝0．4pi＋0．2， 构造等比数列{pi＋λ}， 设pi＋1＋λ＝eq \f(2,5)(pi＋λ)，解得λ＝－eq \f(1,3)， 则pi＋1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pi－\f(1,3)))，又p1＝eq \f(1,2)，p1－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)， 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(pi－\f(1,3)))是首项为eq \f(1,6)，公比为eq \f(2,5)的等比数列， 即pi－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(i－1)， 所以pi＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(i－1)＋eq \f(1,3)． (3)因为pi＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(i－1)＋eq \f(1,3)，i＝1，2，…，n， 所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝eq \f(1,6)×eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))\s\up12(n),1－\f(2,5))＋eq \f(n,3)＝eq \f(5,18) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))\s\up12(n)))＋eq \f(n,3)． 解　(1)依题意，X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝0,20)eq \f(CCeq \o\al(2,20),Ceq \o\al(2,40)) ＝eq \f(19,78)， P(X＝1)＝1,20)eq \f(CCeq \o\al(1,20),Ceq \o\al(2,40)) ＝eq \f(20,39)， P(X＝2)＝2,20)eq \f(CCeq \o\al(0,20),Ceq \o\al(2,40)) ＝eq \f(19,78)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(19,78) eq \f(20,39) eq \f(19,78) 故E(X)＝0×eq \f(19,78)＋1×eq \f(20,39)＋2×eq \f(19,78)＝1． (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排好后第20位与第21位数据的平均数， 由于原数据已经按从小到大排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可， 可得第11位数据为14．4，后续依次为17．3，17．3，18．4，19．2，20．1，20．2，20．4，21．5，23．2，23．6，…， 故第20位数据为23．2，第21位数据为23．6， 所以m＝eq \f(23.2＋23.6,2)＝23．4， 故列联表为 ＜m ≥m 对照组 6 14 实验组 14 6 (ⅱ)由(ⅰ)可得，K2＝eq \f(40×（6×6－14×14）2,20×20×20×20)＝6．4＞3．841， 所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用． $$