7.2 成对数据的线性相关性-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第七章　统计案例 §2　成对数据的线性相关性 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　样本相关系数的性质 1．关于两个变量X，Y与其线性相关系数r，有下列说法： ①若r>0，则X增大时，Y通常也相应增大；②若|r|越趋近于1，则X与Y的线性相关程度越弱；③若r＝1或r＝－1，则X与Y有函数关系，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中说法正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析　根据线性相关系数的定义，变量之间的线性相关程度可用线性相关系数r来判断：当r为正数时，表示变量X，Y正相关；当r为负数时，表示变量X，Y负相关；|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱；|r|＝1时，X与Y有函数关系，故可知①③正确． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 4 2．下列现象中线性相关程度最强的是(　　) A．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0．87 B．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为－0．94 C．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0．51 D．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为－0．70 解析　线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 6 知识点二　样本相关系数的计算及应用 4．为考察两个变量X，Y的线性相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度(　　) A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 答案 解析 X 5 10 15 20 25 Y 103 105 110 111 114 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 7 5．某种产品的广告支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)计算样本相关系数； (2)推断销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征． X 2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 8 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 9 6．流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．它主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．某幼儿园将今年春季该园患流感的小朋友按照年龄X与人数Y统计，得到如下数据： 年龄X 2 3 4 5 6 患病人数Y 22 22 17 14 10 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 10 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 11 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 12 (2)因为r<0，所以X与Y负相关．又因为|r|∈[0．75，1]，所以X与Y相关性很强．因此，可以认为该幼儿园今年春季患流感的人数与年龄负相关性很强． 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 13 30分钟综合练 一、选择题 1．若变量Y与X之间的样本相关系数为r＝－0．9362，则变量Y与X之间(　　) A．不具有线性关系 B．具有线性关系 C．Y随X的增大而增大 D．不确定 解析　由r＝－0．9362可知Y与X具有较强的线性关系，且Y与X负相关． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表： 则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析　在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中丁的相关系数的绝对值最大，相关性最强，所以丁的试验结果能体现A，B两变量有更强的线性相关性．故选D． 解析 甲 乙 丙 丁 r 0．82 0．78 －0．69 －0．85 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 3．对于样本相关系数r，下列说法正确的是(　　) A．r越大，两个变量的线性相关程度越强 B．r越小，两个变量的线性相关程度越强 C．|r|越大，两个变量的线性相关程度越弱，|r|越接近0，两个变量的线性相关程度越强 D．|r|≤1，且|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越强，|r|越接近0，两个变量的线性相关程度越弱 解析　两个变量之间的样本相关系数r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表示两个变量的线性相关性越弱，此时两个变量之间几乎不存在线性关系．故选D． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 5．[多选]对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是(　　) A．r1>r2 B．r3>r4 C．r1>r3>0 D．r4<r2<0 解析　由散点图可知图1与图3中的两个变量正相关，故r1>0，r3>0，图2与图4中的两个变量负相关，故r2<0，r4<0，所以r1>r2，r3>r4；又图1与图2中的样本点更加集中在一条直线附近，所以|r1|>|r3|，|r2|>|r4|，所以r1>r3>0，r2<r4<0．故选ABC． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 二、填空题 6．对两个变量X，Y进行线性相关性检验，得到样本相关系数r1＝0．7895，对变量X，Z进行线性相关性检验，得到样本相关系数r2＝0．9321，则X与________的线性相关性较强． 解析　 |r|越接近于1，两个变量之间的线性相关程度越强． 答案 解析 Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 7．在变量X，Y的一组样本数据(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)(n≥2，a1，a2，…，an不全相等)的散点图中，若所有样本点(ai，bi)(i＝1，2，…，n)恰好都在直线y＝－2x＋1上，则根据这组样本数据推断变量X与Y的样本相关系数为________． 解析　所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，说明这两个变量完全负相关，故其样本相关系数为－1． 答案 解析 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 8．某10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)： 根据上表资料计算的样本相关系数约为________(精确到0．01)． 答案 解析 0．99 固定资产价值X 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业增加值Y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 三、解答题 9．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 根据样本数据，判断两个变量之间是否具有线性关系，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 训练次数X 30 33 35 37 39 44 46 50 运动成绩Y 30 34 37 39 42 46 48 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 10．下面的数据是从年龄在40～60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏功能水平Y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间X(单位：小时)． (1)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的样本相关系数r； (2)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X的线性回归方程(线性回归方程的系数保留到小数点后的第2位)，并讨论方程是否有意义； (3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平． 看电视的平均时间X 4．4 4．6 2．7 5．8 0．2 4．6 心脏功能水平Y 52 53 69 57 89 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 　　　　　　　　　　　　　 R 3．某相关变量X，Y的散点图如图所示，现对这两个变量进行回归分析．方案一：根据图中所有数据分析，可得到线性回归方程Y＝eq \o(b,\s\up12(^))1X＋eq \o(a,\s\up12(^))1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10，32)，根据剩下数据分析，可得到线性回归方程Y＝eq \o(b,\s\up12(^))2X＋eq \o(a,\s\up12(^))2，样本相关系数为r2，则(　　) A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1 C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0 解析　由题中散点图可知，变量X，Y正相关，故0<r1<1，0<r2<1．在剔除点(10，32)之后，可以看出线性回归方程Y＝eq \o(b,\s\up12(^))2X＋eq \o(a,\s\up12(^))2的线性相关程度更强，故r1<r2，所以0<r1<r2<1．故选A． 解析　eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xi＝75，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))yi＝543，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝1375，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝8285，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝59051，eq \o(x,\s\up12(－))＝15，eq \o(y,\s\up12(－))＝108．6，r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))x－5\o(x,\s\up12(－))2)\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5\o(y,\s\up12(－))2)) ＝eq \f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62))≈0．9826，故相关程度很强． 解　(1)计算得eq \o(x,\s\up12(－))＝5，eq \o(y,\s\up12(－))＝50， eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝145，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝13500，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝1380． 所以样本相关系数r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))x－5\o(x,\s\up12(－))2)\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5\o(y,\s\up12(－))2)) ＝eq \f(1380－5×5×50,\r(145－5×52)×\r(13500－5×502))≈0．92． (2)因为样本相关系数r≈0．92>0，所以销售额与广告支出正相关，且相关程度很强，变化趋势相同． (1)计算样本相关系数r(计算结果保留到小数点后的第2位)； (2)是否可以认为该幼儿园今年春季患流感的人数与年龄负相关性很强？(若|r|∈[0．75，1]，则X与Y相关性很强；若|r|∈(0．25，0．75)，则X与Y相关性一般；若|r|∈(0，0．25]，则X与Y相关性较弱．) 参考数据：eq \r(30)≈5．477． 解　(1)由题意可得eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4， eq \o(y,\s\up12(－))＝eq \f(22＋22＋17＋14＋10,5)＝17， eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))(yi－eq \o(y,\s\up12(－)))＝－32， eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))2＝10，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up12(－)))2＝108， 样本相关系数r＝eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up12(－))）（yi－\o(y,\s\up12(－))）,\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up12(－))）2)\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do14(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(－))）2)) ＝eq \f(－32,\r(10×108))＝eq \f(－16,3\r(30))≈－0．97． 4．若已知eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up12(－)))2是eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))2的4倍，eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))(yi－eq \o(y,\s\up12(－)))是eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))2的1．5倍，则样本相关系数r＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,5) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4) 解析　由r＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up12(－))）（yi－\o(y,\s\up12(－))）,\r(\o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up12(－))）2)\r(\o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(－))）2))，得r＝eq \f(3,4)． 解析　由表中数据计算可得eq \o(x,\s\up12(－))＝6．6，eq \o(y,\s\up12(－))＝31．5，eq \o(∑,\s\up12(10),\s\do14(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝490，eq \o(∑,\s\up12(10),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝10877，eq \o(∑,\s\up12(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝2305，则r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(10),\s\do14(i＝1))x－10\o(x,\s\up12(－)) 2)\r(\o(∑,\s\up12(10),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)－10\o(y,\s\up12(－))2)) ≈0．99． 解　作出该运动员训练次数(X)与运动成绩(Y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性关系． 计算可得eq \o(x,\s\up12(－))＝39．25，eq \o(y,\s\up12(－))＝40．875，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do14(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝12656，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝13731，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do14(i＝1))xiyi＝13180， 所以样本相关系数r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(8),\s\do14(i＝1))xiyi－8\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(8),\s\do14(i＝1))x－8\o(x,\s\up12(－))2)\r(\i\su(i＝1,8,y)eq \o\al(2,i)－8\o(y,\s\up12(－))2)) ＝eq \f(13180－8×39.25×40.875,\r(12656－8×39.252)×\r(13731－8×40.8752))≈0．99． 由此可得它们的相关程度很强． 解　n＝6，eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(1,6)×(4．4＋4．6＋2．7＋5．8＋0．2＋4．6)≈3．717，eq \o(y,\s\up12(－))＝eq \f(1,6)×(52＋53＋69＋57＋89＋65)≈64．1667， eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do14(i＝1))xeq \o\al(2,i)－6eq \o(x,\s\up12(－))2≈(4．42＋4．62＋2．72＋5．82＋0．22＋4．62)－6×3．7172≈19．7535， eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do14(i＝1))yeq \o\al(2,i)－6eq \o(y,\s\up12(－))2≈(522＋532＋692＋572＋892＋652)－6×64．16672≈964．8077， eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do14(i＝1))xiyi－6eq \o(x,\s\up12(－)) eq \o(y,\s\up12(－))≈(4．4×52＋4．6×53＋…＋4．6×65)－6×3．717×64．1667≈－124．7457． (1)心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的样本相关系数 r≈eq \f(－124.7457,\r(19.7535×964.8077))≈－0．9036． (2)eq \o(b,\s\up12(^))≈eq \f(－124.7457,19.7535)≈－6．32，eq \o(a,\s\up12(^))＝eq \o(y,\s\up12(－))－eq \o(b,\s\up12(^)) eq \o(x,\s\up12(－))≈87．66，心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X的线性回归方程为Y＝－6．32X＋87．66． 因为|r|＝0．9036，所以Y与X之间具有很强的相关性，这个方程是有意义的． (3)将X＝3代入线性回归方程，可得Y＝68．7，即平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平约为68．7． $$