7.2.1 相关系数&7.2.2 成对数据的线性相关性分析(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§2　成对数据的线性相关性 2.1　相关系数2.2　成对数据的线性相关性分析 【课前预习】 知识点 2.[-1,1]　越强　越弱 诊断分析 (1)①√　②√　③× (2)解:把数学成绩作为横坐标,相应的物理成绩作为纵坐标,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,…,5),作出散点图(图略). 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系,且数学成绩和物理成绩正相关. 【课中探究】 例1　C 变式　D　[解析] 由散点图知,变量X与变量Y负相关,即r<0,故C错误;去掉点P后,|r|进一步接近1,所以r变小,故A错误;去掉点P后,Y与X的线性相关程度变强,故B错误,D正确.故选D. 例2　解:(1)根据表中的数据画出散点图,如图. (2)从(1)中散点图可知,数学学习时间与数学平均成绩之间线性相关. 由已知数据求得=17.4,=74.9,≈0.920. 由样本相关系数知,数学学习时间与数学平均成绩之间正相关,因为r≈0.920与1接近,所以数学学习时间与数学平均成绩之间的线性相关程度很强,且随着数学学习时间的增加,相应的学习成绩升高. 变式　0.78　[解析] 由题得=×(110+120+90+100+140+95+105)=,=×(80+85+75+80+90+85+78)=,∴7名幼儿的智力测验成绩与阅读能力测验成绩的样本相关系数约为0.78. 例3　解:(1)散点图如下: (2)由Y=ebX+a得ln Y=bX+a,令Z=ln Y,得Z=bX+a. 由已知得==0.5,==3, 所以Z=0.59X-1.27,即Y=e0.59X-1.27,故年销售量Y关于年投资额X的非线性回归方程为Y=e0.59X-1.27. 变式　解:(1)由题中所给散点图可以判断,y=c+d更适宜作为年销售量Y关于年宣传费X的回归方程类型. (2)令W=,则Y=c+d可转化为Y=c+dW,则Y与W之间为线性相关关系. 则==68, =- =563-68×6.8=100.6, 所以Y=100.6+68W,因此Y=100.6+68. (3)(i)由(2)知,当X=49时,Y=100.6+68=576.6(千元),Z=576.6×0.2-49=66.32(千元). (ii)由(2)知,Z=0.2(100.6+68)-X=-X+13.6+20.12,所以当==6.8, 即X=46.24时,Z取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预测值最大. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　成对数据的线性相关性 2.1　相关系数 2.2　成对数据的线性相关性分析 【学习目标】 　　1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 　　2.结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. ◆ 知识点　相关系数 1.定义:一般地,设随机变量X,Y的n组观测值分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值分别为和,记r==,则称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数,其中,当r>0时,称两个随机变量正相关,当r<0时,称两个随机变量负相关. 2.样本相关系数与成对数据线性相关性强弱的关系: r∈　　　　,|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度　　　　;|r|值越接近0,随机变量之间的线性相关程度　　　　.  【诊断分析】 (1) 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) ①样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性. (　 ) ②一般地,样本容量越大,用样本相关系数估计两个随机变量的线性相关性的效果越好. (　 ) ③r=0表明两个随机变量不存在相关关系. (　 ) (2)5名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下表: 学生 成绩　　　 学科　　　　 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图,并判断它们是否具有相关关系.如果具有相关关系,是正相关,还是负相关? ◆ 探究点一　相关系数 例1 某统计部门对四组数据进行统计分析后,获得如图所示的散点图,下列关于样本相关系数的比较正确的是 (　 ) A.r4<r2<0<r1<r3 B.r2<r4<0<r1<r3 C.r2<r4<0<r3<r1 D.r4<r2<0<r3<r1 变式 在如图所示的散点图中,若去掉点P,则下列说法正确的是 (　 ) A.样本相关系数r变大 B.变量X与变量Y的线性相关程度变弱 C.变量X与变量Y正相关 D.变量X与变量Y的线性相关程度变强 [素养小结] 利用样本相关系数r判断两个随机变量之间线性相关程度的步骤: (1)利用公式计算样本相关系数r; (2)用样本相关系数r的绝对值的大小判断两个随机变量之间的线性相关程度. ◆ 探究点二　成对数据的线性相关性分析 例2 某校高三(1)班的学生每周的数学学习时间X(单位:h)与数学平均成绩Y(单位:分)的数据如下表所示. X 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 Y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图; (2)请判断数学学习时间与数学平均成绩之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征. 变式 通过随机抽样得到的7名幼儿的智力测验成绩X和阅读能力测验成绩Y的一组数据如下: 智力测验成绩 110 120 90 100 140 95 105 阅读能力测验成绩 80 85 75 80 90 85 78 则7名幼儿的智力测验成绩与阅读能力测验成绩的样本相关系数约为　　　　.(计算结果保留两位小数)   [素养小结] 判断变量的相关性通常有两种方式:一是散点图;二是样本相关系数r.前者只能粗略地说明变量间具有相关性,而后者能从定量的角度分析变量相关性的强弱. ◆ 探究点三　非线性回归模型的应用 例3 [2024·广东东莞高二期末] 某公司近5年的产品研发年投资额X(单位:百万元)与年销售量Y(单位:千件)的数据统计表如下: 年投资额X 1 2 3 4 5 年销售量Y 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)根据上表数据画出年投资额X与年销售量Y的散点图; (2)该公司计划用y=ebx+a作为年销售量Y关于年投资额X的回归方程类型,并对年销售量取自然对数,得到如下数据表(Z=ln Y): 年销售量Y 0.5 1 1.5 3 5.5 Z -0.7 0 0.4 1.1 1.7 请根据表中数据,建立Y关于X的非线性回归方程. 变式 若某公司要确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费X(单位:千元)对年销售量Y(单位:吨)和年利润Z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据进行初步处理,得到如图所示的散点图及下表所示的一些统计量的值. (xi- )2 (wi- )2 (xi- )·(yi- ) (wi- )·(yi- ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi=,=wi. (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个模型更适宜作为年销售量Y关于年宣传费X的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立Y关于X的回归方程. (3)已知这种产品的年利润Z与X,Y的关系为Z=0.2Y-X.根据(2)的结果回答下列问题: (i)当X=49时,预测年销售量及年利润分别是多少? (ii)年宣传费为多少时,年利润的预测值最大? [素养小结] 求解非线性回归方程的一般步骤: (1)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)图象进行比较,选取拟合效果好的函数模型; (2)变量置换:通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题; (3)求解线性回归方程,进而得原变量的非线性回归方程. 学科网（北京）股份有限公司 $