1.1.4 两条直线的平行与垂直-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.4　两条直线的平行与垂直 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　两条直线平行 1．“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　充分性：直线l1与l2平行，但是l1和l2可以都没有斜率，即当l1和l2都垂直于x轴时，l1与l2仍然平行，但是，此时不满足直线l1与l2的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线l1与l2的斜率相等，则直线l1与l2平行或重合，故必要性不成立．综上，“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的既不充分也不必要条件． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 5 3．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 6 4．平行于直线x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋y＋7＝0 B．x＋3y＋7＝0 C．x＋3y－2＝0 D．3x＋y－2＝0 解析　平行于直线x＋3y－3＝0的直线具有形式x＋3y＋C＝0，故排除A，D；C中直线的截距为正，但直线过第一象限，不符合题意，故排除C．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7 5．直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　) A．－7或－1 B．－7 C．7或1 D．－1 解析　因为两直线平行，所以(3＋a)(5＋a)＝2×4，解得a＝－1或－7．当a＝－1时，两直线重合，故a＝－7．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8 知识点二　两条直线垂直 6．已知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：x－y－1＝0，则这两条直线的位置关系是 (　　) A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析　因为直线l1：x＋y＋2＝0的斜率为k1＝－1，直线l2：x－y－1＝0的斜率为k2＝1，所以k1·k2＝－1，所以这两条直线的位置关系是垂直．故选C． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 9 解析　因为两条直线垂直，故(m＋2)×1＋(－1)×(3m＋4)＝0，故m＝－1．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 10 8．已知A(3，1)，B(1，5)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　) A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y＋4＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－9＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 9．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则实数a的值为________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 12 10．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点． (1)求点D，使直线CD⊥AB，且BC∥AD； (2)判断此时四边形ACBD的形状． 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 13 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 14 30分钟综合练 一、选择题 1．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为(　　) A．7 B．0或7 C．0 D．4 解析　∵直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，∴m(m－1)＝3m×2，∴m＝0或m＝7，经检验都符合题意．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 2．直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k的值为(　　) A．－3或－1 B．3或1 C．－3或1 D．－1或3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 3．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点A为直角顶点的直角三角形 D．以点B为直角顶点的直角三角形 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 4．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在直线的方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 5．若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角为(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 二、填空题 6．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________． 答案 解析 (2，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 答案 解析 2x＋3y－4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 8．若三条直线2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，则m＝________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 三、解答题 9．已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的 坐标． (1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)； (2)∠MPN是直角． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 10．已知四边形ABCD的顶点分别是A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 2．已知过点A(1，2)，B(－5，0)的直线l1和过点C(m，1)，D(－1，m)的直线l2平行，则实数m的值为(　　) A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．1 D．0 解析　由kAB＝kCD，可得eq \f(2－0,1－（－5）)＝eq \f(1－m,m－（－1）)，解得m＝eq \f(1,2)． 解析　过点(1，0)且斜率为eq \f(1,2)的直线方程为y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0．故选A． 7．已知直线l1：(m＋2)x－y＋5＝0与l2：x＋(3m＋4)y－12＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．－eq \f(3,2) B．－1 C．1 D．eq \f(3,2) 解析　由题意知，直线AB的斜率为k＝eq \f(5－1,1－3)＝－2，且AB的中点为(2，3)，∴线段AB的垂直平分线的斜率k′＝－eq \f(1,k)＝eq \f(1,2)，垂直平分线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，整理得x－2y＋4＝0．故选B． 解析　由题意知两直线的斜率均存在，且直线l与斜率为－eq \f(2,3)的直线垂直，则直线l的斜率为eq \f(3,2)，于是eq \f(3,2)＝eq \f(1－（－1）,（－a－2）－（a－2）)＝eq \f(2,－2a)＝－eq \f(1,a)，解得a＝－eq \f(2,3)． －eq \f(2,3) 解　(1)设D(x，y)，则由CD⊥AB，BC∥AD， 可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kCD·kAB＝－1，,kBC＝kAD，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y,x－3)·\f(2＋1,2－1)＝－1，,\f(2－0,2－3)＝\f(y＋1,x－1)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))即点D的坐标为(0，1)． (2)∵kAC＝eq \f(0－（－1）,3－1)＝eq \f(1,2)，kBD＝eq \f(2－1,2－0)＝eq \f(1,2)， ∴kAC＝kBD． ∴AC∥BD， ∴四边形ACBD为平行四边形． 而kBC＝eq \f(2－0,2－3)＝－2，∴kBC·kAC＝－1． ∴AC⊥BC，∴四边形ACBD是矩形． ∵CD⊥AB，∴四边形ACBD是正方形． 解析　若1－k＝0，即k＝1，直线l1：x＝3，l2：y＝eq \f(2,5)，显然两直线垂直；若k≠1，直线l1，l2的斜率分别为k1＝eq \f(k,k－1)，k2＝eq \f(1－k,2k＋3)．由k1k2＝－1，得k＝－3．综上，k＝1或k＝－3．故选C． 解析　kAB＝eq \f(－1－1,2＋1)＝－eq \f(2,3)，kAC＝eq \f(4－1,1＋1)＝eq \f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．故选C． 解析　kBC＝eq \f(3－1,1－3)＝－1，∴BC边上的高所在直线的斜率为1，∴方程为y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0．故选B． 解析　易知直线PQ的斜率kPQ＝eq \f(b－a－1,a－b＋1)＝－1．由题意，可知直线PQ与直线l垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的倾斜角为45°． 解析　依题意设点Q的坐标为(a，b)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋1＝0，,\f(b＋1,a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3.))故点Q的坐标为(2，3)． 7．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为eq \f(10,3)的直线的方程为____________________． 解析　所求直线与直线2x＋3y＋5＝0平行，则其斜率为－eq \f(2,3)，可设直线方程为y＝－eq \f(2,3)x＋b，令y＝0，得x＝eq \f(3,2)b，由题意可得b＋eq \f(3,2)b＝eq \f(10,3)，解得b＝eq \f(4,3)，所以所求直线的方程为y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(4,3)，即2x＋3y－4＝0． 解析　设l1：2x－y＋4＝0，l2：x－y＋5＝0，l3：2mx－3y＋12＝0，l1不垂直于l2，要使围成的三角形为直角三角形，则l3⊥l1或l3⊥l2．由l3⊥l1得2×eq \f(2,3)m＝－1，∴m＝－eq \f(3,4)；由l3⊥l2得1×eq \f(2,3)m＝－1，∴m＝－eq \f(3,2)． －eq \f(3,4)或－eq \f(3,2) 解　设P(x，0)， (1)∵∠MOP＝∠OPN， ∴OM∥NP，∴kOM＝kNP． 又kOM＝eq \f(2－0,2－0)＝1，kNP＝eq \f(0－（－2）,x－5)＝eq \f(2,x－5)(x≠5)， ∴1＝eq \f(2,x－5)，∴x＝7，即P(7，0)． (2)∵∠MPN＝90°， ∴MP⊥NP，∴kMP·kNP＝－1． kMP＝eq \f(2,2－x)(x≠2)，kNP＝eq \f(2,x－5)(x≠5)， ∴eq \f(2,2－x)×eq \f(2,x－5)＝－1， 解得x＝1或x＝6， 即P(1，0)或P(6，0)． 解　①当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB．易求得m＝2，n＝－1； ②当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC且AB⊥BC． ∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－2)＝－3，,\f(n＋1,m－5)×（－3）＝－1，)) 解得m＝eq \f(16,5)，n＝－eq \f(8,5)． 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝eq \f(16,5)，n＝－eq \f(8,5)． $$