2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 5 解析　由题意知，直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的点斜式方程为y－1＝x－2． 答案 解析 3．在平面直角坐标系中，过点A(2，1)且倾斜角为45°的直线l的点斜式方程是_________________． y－1＝x－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 6 4．已知直线l经过点A(－2，3)，且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________． 答案 解析 x＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 7 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 9 7．[多选]直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝－bx＋a的图象可能为(　　) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 10 解析　对于A，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，－b<0，a>0，可能成立；对于B，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，－b>0，a>0，可能成立；对于C，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象可知，－b<0，a>0，不成立；对于D，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象可知，－b>0，a>0，不成立．故选AB． 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 11 8．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么(　　) A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0 解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0；当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴kb＝0．综上，kb≤0． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 12 9．已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为____________． 解析　由题意知，直线l在y轴上的截距为6，其斜率为－2，故直线l的方程为y＝－2x＋6． 答案 解析 y＝－2x＋6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 目录 14 30分钟综合练 一、选择题 1．过点(－1，2)且斜率为2的直线的点斜式方程是(　　) A．y－2＝2(x－1) B．y＋2＝2(x－1) C．y－2＝2(x＋1) D．y＋2＝2(x＋1) 解析　因为直线过点(－1，2)，且斜率为2，所以该直线的点斜式方程为y－2＝2(x＋1)．故选C． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 16 解析　∵直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，∴直线的斜率为2，且经过定点(1， －2)．故选C． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 17 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 19 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 20 二、填空题 6．若直线y＝(3－2t)x－6不经过第一象限，则t的取值范围为________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 21 7．直线y＝kx＋2k－3(k∈R)经过的定点是______________． 解析　因为y＝kx＋2k－3，即y＋3＝k(x＋2)，所以直线过定点(－2，－3)． 答案 解析 (－2，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 22 答案 解析 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 23 三、解答题 9．已知直线l经过点P(t，t)，Q(t－1，2t)，t≠0，则直线l能否同时经过点A(－1，15)和点B(2，－2)？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 目录 27 　　　　　　　　　　　　　 R 目录 知识点一　直线的点斜式方程 1．下列说法正确的是(　　) A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示 B．过点P(1，2)，且斜率为4的直线方程为eq \f(y－2,x－1)＝4 C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1) D．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 解析　对于A，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A错误；对于B，该方程不包括点P(1，2)，故B错误；对于C，当倾斜角θ＝eq \f(π,2)时，tanθ无意义，故C错误；对于D，直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故D正确． 2．已知直线的方程是y＋4＝2x－6，则(　　) A．直线经过点(－3，4)，斜率为2 B．直线经过点(4，－3)，斜率为2 C．直线经过点(3，－4)，斜率为2 D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2 解析　直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2． 解析　直线y＝x的倾斜角为eq \f(π,4)，所以直线l的倾斜角为eq \f(π,2)，所以直线l的方程为x＝－2． 5．已知直线l的倾斜角为α，sinα＝eq \f(3,5)，且这条直线经过点P(3，5)，求直线l的点斜式方程． 解　直线l的倾斜角为α，sinα＝eq \f(3,5)，当α为锐角时，cosα＝eq \f(4,5)，直线l的斜率k＝tanα＝eq \f(3,4)，所以直线l的点斜式方程为y－5＝eq \f(3,4)(x－3)；当α为钝角时，cosα＝－eq \f(4,5)，直线l的斜率k＝tanα＝－eq \f(3,4)，所以直线l的点斜式方程为y－5＝－eq \f(3,4)(x－3)．综上，直线l的点斜式方程为y－5＝eq \f(3,4)(x－3)或y－5＝－eq \f(3,4)(x－3)． 知识点二　直线的斜截式方程 6．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则直线l的方程为(　　) A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x＋2 C．y＝－eq \r(3)x－2 D．y＝eq \r(3)x－2 解析　∵直线l的倾斜角为60°，∴其斜率为eq \r(3)．又直线l在y轴上的截距为－2，∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x－2．故选D． 10．已知直线l的斜率为eq \f(5,12)，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为_____________． 解析　由直线l的斜率为eq \f(5,12)，可设直线l的方程为y＝eq \f(5,12)x＋b．令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－eq \f(12,5)b．由题意得|b|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)b))＋eq \r(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)b))\s\up12(2))＝30，∴|b|＋eq \f(12,5)|b|＋eq \f(13,5)|b|＝30，∴b＝±5，∴直线l的方程为y＝eq \f(5,12)x±5． y＝eq \f(5,12)x±5 2．直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，则(　　) A．直线l过点(2，－2)，斜率为eq \f(1,2) B．直线l过点(－2，2)，斜率为eq \f(1,2) C．直线l过点(1，－2)，斜率为2 D．直线l过点(－1，2)，斜率为2 3．直线l过点P(0，eq \r(3))，且倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　) A．y＝eq \r(3)x－eq \r(3) B．y＝eq \r(3)x＋eq \r(3) C．y＝eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3) D．y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3) 解析　设直线y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，则tanθ＝eq \f(\r(3),3)，∴θ＝eq \f(π,6)，故直线l的倾斜角为eq \f(π,3)，斜率k＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，又直线l过点P(0，eq \r(3))，故直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)．故选B． 4．若直线y＝eq \f(2m2＋m－3,m－m2)x＋eq \f(1－4m,m－m2)在x轴上的截距为1，则实数m的值为(　　) A．1 B．2 C．－eq \f(1,2) D．2或－eq \f(1,2) 解析　由题意知直线过点(1，0)，∴eq \f(2m2＋m－3,m－m2)＋eq \f(1－4m,m－m2)＝0，则m＝－eq \f(1,2)或m＝2． 5．[多选]已知过定点(4，5)的直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，t∈N＋，则直线m的方程可以为(　　) A．y＝eq \f(4,5)x＋9 B．y＝eq \f(3,2)x－1 C．y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(11,3) D．y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(7,3) 解析　∵直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，∴直线的一个方向向量为(3t，2)，又t∈N＋，∴直线的斜率为eq \f(2,3t)，又直线过点(4，5)，∴直线m的方程为y－5＝eq \f(2,3t)(x－4)，即y＝eq \f(2,3t)x－eq \f(8,3t)＋5．当t＝2时，直线m的方程为y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(11,3)，故C正确；当t＝1时，直线m的方程为y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(7,3)，故D正确．故选CD． 解析　由题意可得3－2t≤0，解得t≥eq \f(3,2)． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) 8．已知直线y＝eq \f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是____________________． 解析　令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k≥1或k≤－1．故实数k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 解　假设直线l同时经过点A(－1，15)和点B(2，－2)，可设直线l的方程为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15＝－k＋b，,－2＝2k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(17,3)，,b＝\f(28,3)，)) 所以直线l的方程为y＝－eq \f(17,3)x＋eq \f(28,3)． 直线l经过点P(t，t)，则有t＝－eq \f(17,3)t＋eq \f(28,3)，解得t＝eq \f(7,5)． 直线l经过点Q(t－1，2t)， 则有2t＝－eq \f(17,3)(t－1)＋eq \f(28,3)，解得t＝eq \f(45,23)． 因为eq \f(7,5)≠eq \f(45,23)，与题意矛盾，所以直线l不能同时经过点A和点B． 10．直线l的方程为y＝ax＋eq \f(3－a,5)， (1)证明：直线l恒经过第一象限； (2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围． 解　(1)证明：直线l：y＝ax＋eq \f(3－a,5)， 可化为y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))， 所以直线l过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))， 又点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限， 故直线l恒经过第一象限． (2)因为直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))且点P在第一象限， 故只需l在y轴上的截距大于0即可， 即eq \f(3－a,5)>0，得a<3． 故a的取值范围是(－∞，3)． $$