2.1 坐标法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.1　坐标法 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 4 2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4 B．－4或2 C．－2 D．－2或4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 7 5．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________． 解析　由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5．点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0，5)． 答案 解析 (0，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 8 答案 解析 －4或0或6或10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 9 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 11 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 12 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 13 30分钟综合练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 3．已知A(1，3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则|AP|－|BP|取最大值时的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(13，0) C．(5，0) D．(1，0) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 4．已知A，B的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．20 B．12 C．5 D．4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 5．[多选]如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点可以是(　　) A．(7，1) B．(2，7) C．(－3，1) D．(2，－3) 解析　由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x，1)，则|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即另一个端点坐标为(7，1)或 (－3，1)．故选AC． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 二、填空题 6．已知点M(2，2)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x＝_____，y＝____． 答案 解析 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 7．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有______个． 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 8．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a＝___． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 三、解答题 9．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 10．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．数轴上三点A，B，C，点A(－1)，点B(2)，点C到点A和点B的距离之和小于4，则点C的坐标范围为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(3,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2))) 解析　设C(m)，由A(－1)，B(2)，得|AC|＋|BC|＝|m＋1|＋|m－2|<4，∴－eq \f(3,2)<m<eq \f(5,2)．∴点C的坐标范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))．故选A． 解析　∵eq \r(（a－1）2＋（6－2）2)＝5，∴a＝4或－2． 3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3) C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10) 解析　由题意知|AB|＝eq \r(（－1－2）2＋（0－3）2)＝3eq \r(2)，|AC|＝eq \r(（2－2）2＋（0－3）2)＝3，|BC|＝eq \r([2－（－1）]2＋（0－0）2)＝3，故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3eq \r(2)．故选C． 4．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3), 则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．2eq \r(7) B．eq \r(17) C．eq \f(\r(17),7) D．2eq \r(17) 解析　∵点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝2，,5－3＝2y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))即P(4，1)，∴点P(4，1)到原点的距离为eq \r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq \r(17)．故选B． 6．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝5，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，则点C的坐标为____________________． 解析　由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，则|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3－xA＝5或|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝xA－3＝5，∴xA＝－2或xA＝8，∴|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝xC－xA＝xC－(－2)＝2或|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝xC－xA＝xC－8＝2或|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝xA－xC＝－2－xC＝2或|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝xA－xC＝8－xC ＝2，解得xC＝0或xC＝10或xC＝－4或xC＝6．故点C的坐标为－4或0或6或10． 7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)． (1)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标相等时，求x； (2)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(PB,\s\up16(→))的坐标相等时，求x； (3)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))的坐标大于向量2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标时，求x的取值范围． 解　由题意，可知向量eq \o(AP,\s\up16(→))的坐标为3－x，向量eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标为1． (1)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标相等时，有3－x＝2，解得x＝1． (2)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(PB,\s\up16(→))的坐标相等时， 有3－x＝2×(－1)，解得x＝5． (3)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))的坐标大于向量2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标时， 有3－x＞2，解得x＜1，即x的取值范围为(－∞，1)． 知识点二　坐标法 8．用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且互相平分． 证明　以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图)． 设点A，B，C的坐标分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，(b，c)，由平行四边形的性质知点D的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由中点坐标公式得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－a＋b,2)，,y1＝\f(0＋c,2)，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(a－2a＋b,2)，,y2＝\f(0＋c,2)，)) 即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋b,2)，\f(c,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋b,2)，\f(c,2)))． ∴点E与点F重合， ∴▱ABCD的对角线相交且互相平分． 解　根据题意，设P(x，y)，A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，若0<x<2，0<y<2，则P在矩形ABCD的内部， 则eq \r(x2＋y2)＋eq \r(x2＋（2－y）2)＋ eq \r(（2－x）2＋y2)＋eq \r(（2－x）2＋（2－y）2)的几何意义为P到A，B，C，D四点的距离之和， 即eq \r(x2＋y2)＋eq \r(x2＋（2－y）2)＋eq \r(（2－x）2＋y2)＋ eq \r(（2－x）2＋（2－y）2)＝|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|， 分析可得，当P为矩形ABCD的对角线的交点，即(1，1)时，|PA|＋|PC|与|PB|＋|PD|同时取得最小值，此时|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|取得最小值，且其最小值为|AC|＋|BD|＝4eq \r(2)． 9．已知0＜x＜2，0＜y＜2，求eq \r(x2＋y2)＋eq \r(x2＋（2－y）2)＋eq \r(（2－x）2＋y2)＋eq \r(（2－x）2＋（2－y）2)的最小值． 一、选择题 1．点A(2，－3)关于点B(－1，0)的对称点A′的坐标是(　　) A．(5，－6) B．(－4，3) C．(3，－3) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2))) 解析　设点A′(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝\f(2＋x,2)，,0＝\f(－3＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))则点A′的坐标为(－4，3)．故选B． 2．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且eq \r(a2＋b2)－eq \r(c2＋d2)＝0，则(　　) A．原点一定是线段AB的中点 B．A，B一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上，但不是中点 D．以上结论都不正确 解析　由eq \r(a2＋b2)－eq \r(c2＋d2)＝0得eq \r(a2＋b2)＝eq \r(c2＋d2)，即A，B两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB的垂直平分线上．故选D． 解析　如图，点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B交x轴于点P，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为y＝eq \f(1,4)x－eq \f(13,4)，令y＝0，得x＝13．所以点P的坐标为(13，0)． 解析　如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝eq \r(（1－4）2＋（－1－3）2)＝eq \r(9＋16)＝5． 解析　∵点M(2，2)平分线段AB，∴点M是线段AB的中点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝2，,\f(3＋y,2)＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) 解析　若点在x轴上，设为(x，0)，则有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝eq \f(3,8)；若点在y轴上，设为(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－eq \f(3,14)．∴在坐标轴上与A，B等距离的点有2个． 解析　|AB|2＝(a＋1－5)2＋(a－4－2a＋1)2＝2a2－2a＋25＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(49,2)，所以当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值． eq \f(1,2) 解　设点C(x，y)，边AC的中点为D，BC的中点为E， 则DE綊eq \f(1,2)AB． 线段AC的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)，\f(7＋y,2)))， 线段BC的中点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)，\f(5＋y,2)))． 　由直线AB与x轴不平行可知，若点D在y轴上，则eq \f(3＋x,2)＝0，所以x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x轴上，所以eq \f(5＋y,2)＝0，所以y＝－5，即C(－3，－5)． 若点D在x轴上，则eq \f(7＋y,2)＝0， 所以y＝－7，此时点E只能在y轴上， 即eq \f(－2＋x,2)＝0， 所以x＝2，此时C(2，－7)． 如图所示． 综上可知，符合题意的点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)． 解　以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图． 则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a))． 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－x)) eq \s\up12(2)＋(－y)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－x)) eq \s\up12(2)＋(－y)2＋(－x)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－y)) eq \s\up12(2)＝3x2＋3y2－eq \r(3)ay＋eq \f(5,4)a2＝3x2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a)) eq \s\up12(2)＋a2， ∴当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2． $$