第二章 平面解析几何 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第二章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 答案　B 解析　方程2x＋y＋1＝0可化为y＝－2x－1，因此该直线的斜率k1＝－2．方程x＋2y＋1＝0可化为y＝－x－，因此该直线的斜率k2＝－，因为k1≠k2，k1·k2＝1≠－1，所以这两条直线相交但不垂直．故选B． 2．已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A．－ B．1 C．2 D． 答案　C 解析　易知点P(2，2)在圆上，由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2，2)与圆心(1，0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2． 3．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为(　　) A．3 B．2 C．2 D． 答案　A 解析　抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，它们所围成的三角形是边长为2的正三角形，所以所求三角形的面积为3．故选A． 4．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 答案　C 解析　因为点A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，所以－2＝－，所以p＝4，因此焦点F(2，0)，故直线AF的斜率k＝＝－． 5．若斜率存在且过点P的直线l与双曲线－＝1(a>0，b>0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于(　　) A．2 B．4 C．1或2 D．2或4 答案　B 解析　因为直线斜率存在，且点P在渐近线y＝x上，则过点P与左顶点(－a，0)的直线必与直线y＝－x平行，所以＝，解得a＝2．所以实轴长为4．故选B． 6．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 答案　A 解析　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF．设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝．由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝．故选A． 7．(2023·河南省叶县高级中学高二上学期期末)＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　易知动点P的轨迹为抛物线C：y2＝6x，C的焦点为F，则＋可看成动点P到点 的距离与到y轴的距离之和．如图，设A，|PB|为点P到准线x＝－的距离，则＝|PC|＝|PB|－|CB|＝|PF|－．则＋＝|PF|＋|PA|－≥|AF|－＝，当且仅当P在线段AF上时取等号．故＋的最小值为．故选B． 8．(2023·河南商丘高二质量检测)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若|F1F2|＝|MN|，|MF2|＝|NF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵四边形NF1MF2是平行四边形，又|MN|＝|F1F2|，∴四边形NF1MF2是矩形，∴∠NF2M＝90°，|MF2|＝|NF1|，设|MF2|＝m，|NF2|＝2|MF2|＝2m，∴m2＋8m2＝4c2，∴m＝c，∴2a＝|NF1|＋|NF2|＝|MF2|＋|NF2|＝c＋c＝c，∴离心率为＝＝． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．－2 D．－5 答案　AD 解析　圆C1的圆心为C1(m，－2)，圆C2的圆心为C2(－1，m)，则|C1C2|＝ ＝3＋2，得m＝2或－5． 10．已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　) A．(0，) B．(1，－1) C．(，0) D．(－1，1) 答案　AC 解析　设点A的坐标为(t，－t)，当AP，AQ均为圆的切线时，∠PAQ＝90°，此时四边形PAQO为正方形，则|OA|＝，即t2＋(－t)2＝2，解得t＝0或t＝，故点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC． 11．(2023·吉林辽源第五中学高二阶段考试)如图所示的“花生壳”形曲线Γ是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆的方程是x2＋y2－4y－4＝0，双曲线的左、右顶点为A，B，|AB|＝4，记双曲线的左、右焦点为F1，F2，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线部分的方程为x2－y2＝4(|y|≤2) B．焦点F1到曲线Γ上任一点的距离的最大值为4 C．曲线Γ围成的图形面积不超过40 D．曲线Γ上存在4个点P使得∠F1PF2为直角 答案　AD 解析　上半个圆所在圆的方程是x2＋y2－4y－4＝0，圆心为M(0，2)，半径为2，由对称性可知，下半个圆所在圆的圆心为N(0，－2)，半径为2，因为|AB|＝4，所以双曲线的左、右顶点坐标为(－2，0)，(2，0)， 设双曲线部分的方程为－＝1(b>0)，其中|y|≤2，设上半圆与双曲线在第一象限的交点为C，则C(2，2)，将其代入－＝1，得－＝1，解得b2＝4，故双曲线部分的方程为x2－y2＝4(|y|≤2)，A正确； 因为c2＝4＋4＝8，故双曲线的左、右焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，连接F1M并延长，交上半圆于点P，则焦点F1到曲线Γ上任一点的距离最大值为F1P的长，其中|MF1|＝＝2，|MP|＝2，故焦点F1到曲线Γ上任一点的距离的最大值为2＋2，B错误； 连接CE，DF，过点A作x轴的垂线，交DF于点S，交EC于点T，过点B作GH⊥x轴，交EC于点G，交DF于点H，因为C(2，2)，所以直线EC的方程为y＝x，将x＝2代入，则|BG|＝×2＝，则S△CDO＝S△EFO＝×4×2＝4，S△STO＝S△GHO＝×2×2＝2，又两半圆的面积之和为π×(2)2＝8π，设曲线Γ围成的图形面积为S，则S>8π＋2×2＋4×2＝8π＋12>40，C错误；设P(x，y)，因为F1(－2，0)，F2(2，0)，若∠F1PF2是直角，则有x2＋y2＝8，联立x2＋y2＝8与x2－y2＝4(|y|≤2)，解得x2＝6，y2＝2，所以x＝±，y＝±，故有四个点P，坐标分别为(，)，(－，)，(，－)，(－，－)，由于|OC|＝＝2>2，所以x2＋y2＝8与上下半圆均无交点，故曲线Γ上存在4个点P使得∠F1PF2为直角，D正确．故选AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________． 答案　－2　 解析　根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝ ＝2， |AC|＝ ＝， |BC|＝|m－3|． ∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2．即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2．∴r＝|AC|＝＝． 13．已知双曲线－＝1的左焦点为F，P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________． 答案　－1 解析　设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(如图)，因为M，O分别是PF，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|， 又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1． 14．如图所示，设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8，线段AB的中点到y轴的距离为3．直线l2与圆x2＋y2＝相切于点P，与抛物线C相切于点Q，则△FPQ的面积为________． 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点到y轴的距离为3，可得x1＋x2＝6．又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，∴p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．设直线l2的方程为y＝kx＋m，由l2与⊙O相切，得＝，∴2m2＝1＋k2　①．联立直线l2与抛物线C的方程，得消元得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0　(*)．∵直线l2与抛物线相切，∴Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝－16km＋16＝0　②．由①②得k＝＝±1，∴方程(*)为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，∴Q(1，±2)，∴|PQ|＝＝＝，此时直线l2的方程为y＝x＋1或y＝－x－1，∴点F(1，0)到直线l2的距离d＝，∴S△FPQ＝××＝． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(2023·福建省三明市五校协作高二上学期期末)(本小题满分13分)已知△ABC的顶点A(4，1)，AB边上的高所在的直线平行于直线3x＋5y－1＝0，角B的平分线所在直线的方程为x－y－5＝0． (1)求点B的坐标； (2)求BC边所在直线的方程． 解　(1)因为AB边上的高所在的直线平行于直线3x＋5y－1＝0， 所以直线AB的斜率为， 则直线AB的方程为y－1＝(x－4)， 即5x－3y－17＝0． 联立方程解得 所以点B的坐标为(1，－4)． (2)设点A关于角B的平分线x－y－5＝0对称的点为A1(m，n)， 则解得 即A1(6，－1)． 又B(1，－4)，所以kBC＝kBA1＝＝， 所以BC边所在直线的方程为y＋4＝(x－1)，即3x－5y－23＝0． 16．(本小题满分15分)过原点O的圆C与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B(0，2)． (1)求圆C的标准方程； (2)过点B的直线l与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式． 解　(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 分别代入原点和A(4，0)，B(0，2)， 得 解得 则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5． (2)由(1)得圆心C(2，1)，半径r＝， 由于直线l过点B与圆C相切， 易知斜率一定存在， 设直线l：y＝kx＋2， 由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d＝r， 即有＝，解得k＝2， 故直线l的方程为y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0． 17．(2023·江苏连云港高二联考)(本小题满分15分)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，Q(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E上一点，A，B分别是双曲线E的左、右顶点，直线QA，QB的斜率之积为1． (1)求双曲线E的离心率； (2)若双曲线E的焦距为2，直线l过点P(2，0)且与双曲线E交于M，N两点，＝3，求直线l的方程． 解　(1)因为Q(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E上一点，所以－＝1，即＝，由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，kQAkQB＝·＝＝1，所以＝1， 可得a＝b，所以e＝＝＝． (2)由题意可得c＝，a＝b＝1， 则双曲线E的方程为x2－y2＝1， 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立直线l与双曲线E的方程，可得(1－k2)·x2＋4k2x－1－4k2＝0， 则x1＋x2＝－，① x1x2＝－，② 又＝3，可得2－x1＝3(x2－2)，③ 由①③可得x2＝，x1＝－， 代入②可得3k2＝15，解得k＝±， 则直线l的方程为y＝±(x－2)． 18．(本小题满分17分)如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)． (1)求直线l和抛物线C的方程； (2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求△ABP面积的最大值． 解　(1)由得x2＋2pkx－4p＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk， y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4． 因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)， 所以解得 所以直线l的方程为y＝2x－2， 抛物线C的方程为x2＝－2y． (2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，△ABP的面积最大． 设切线方程是y＝2x＋t． 由得x2＋4x＋2t＝0， 所以Δ＝42－4×2t＝0，解得t＝2， 所以切线方程为y＝2x＋2． 此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离d＝＝． 由得x2＋4x－4＝0， 则|AB|＝· ＝×＝4． 所以△ABP面积的最大值为×4×＝8． 19．(本小题满分17分)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－．记M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G． ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值． 解　(1)由题设得·＝－， 化简得＋＝1(|x|≠2)， 所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点． (2)①证明：设直线PQ的斜率为k， 则其方程为y＝kx(k>0)． 由得x＝±． 设u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)． 于是直线QG的斜率为，方程为 y＝(x－u)． 由 得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0．(*) 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解， 故xG＝，由此得yG＝． 从而直线PG的斜率为＝－． 所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． ②由①得|PQ|＝2u， |PG|＝， 所以△PQG的面积S＝|PQ|·|PG|＝＝． 设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号． 因为S＝在[2，＋∞)单调递减， 所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，为． 因此△PQG面积的最大值为． 230 学科网（北京）股份有限公司 $$