2.4 曲线与方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．4　曲线与方程 知识点一　曲线的方程与方程的曲线 1．已知命题“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是(　　) A．曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解 B．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上 C．曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线 D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程F(x，y)＝0 答案　D 解析　因为以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，不妨取方程x2＋y2＝1(x>0)，曲线取x2＋y2＝1对应的曲线，则左半圆上的点的坐标不满足方程x2＋y2＝1(x>0)，故A错误；左半圆上的点的坐标不满足方程x2＋y2＝1(x>0)，但该点在圆x2＋y2＝1上，故B错误；由曲线与方程的定义可知，C错误；以方程x2＋y2＝1(x>0)的解为坐标的点都在曲线上，故D正确．故选D． 2．[多选]下列命题中为真命题的是(　　) A．点A(3，2)，点B(3，6)，则线段AB的方程是x＝3 B．到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2 C．方程y＝kx＋1表示过(0，1)的所有直线 D．方程xy＝1和方程y＝表示相同的曲线 答案　BD 解析　A错误，因为方程x＝3是直线AB的方程，线段AB的方程应是x＝3(2≤y≤6)；C错误，方程y＝kx＋1不能表示过(0，1)且斜率不存在的直线；B，D正确．故选BD． 3．如图，方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　) 答案　B 解析　x＋|y－1|＝0，当y≥1时，x＋y－1＝0；当y<1时，x＋1－y＝0，画出符合题意的曲线，为B．故选B． 4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是(　　) A．直线2x－y＝0 B．直线2x＋y＋3＝0 C．直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0 D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0 答案　C 解析　∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0． 知识点二　求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质 5．与点A(－1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝3 B．x2＋2xy＝1(x≠±1) C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0) 答案　B 解析　设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1， ∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)． 6．(2023·福建福州第一中学期末)已知曲线C的方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，则曲线C关于________对称．(　　) A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x 答案　B 解析　曲线C的方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，将x换为－x，y不变，原方程化为x2＋y2＋|x|y＝2023，所以曲线C关于y轴对称；将y换为－y，x不变，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于x轴对称；将x换为－x，y换为－y，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于原点对称；将x换为y，y换为x，原方程化为x2＋y2＋|y|x＝2023，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选B． 7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋4)2＋(y－1)2＝4 答案　A 解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则可得代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．故选A． 8．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为(　　) A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0 C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0 答案　A 解析　设AC，BD交于点O，∵A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴点O的坐标为，设点B的坐标为(x，y)，∴点D的坐标为(5－x，－4－y)，∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0．故选A． 9．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________． 答案　x2＋y2＝4 解析　设P(x，y)，圆x2＋y2＝1的圆心为O，∵∠APB＝60°，OP平分∠APB，∴∠OPB＝30°，∵|OB|＝1，∠OBP为直角，∴|OP|＝2，∴x2＋y2＝4． 10．已知M(－1，0)，N(1，0)两点，点P满足·＝(·＋·)且·－·<0，求点P的轨迹方程． 解　设点P(x，y)．由M(－1，0)，N(1，0)， 得＝－＝(－1－x，－y)， ＝－＝(1－x，－y)， ＝－＝(2，0)． 所以·＝2(x＋1)， ·＝x2＋y2－1， ·＝2(1－x)． 由题意得 即 所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x＞0)． 一、选择题 1．方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是(　　) 答案　C 解析　因为xy<0，所以曲线上点的纵、横坐标异号，故曲线应为圆x2＋y2＝1在第二、四象限且不包含x轴与y轴上的点的部分．故选C． 2．方程(2x－y＋2)＝0表示的曲线是(　　) A．一个点与一条直线 B．两条射线和一个圆 C．两个点 D．两个点或一条直线或一个圆 答案　B 解析　原方程等价于x2＋y2－1＝0或故选B． 3．从原点O引圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋(y－1)2＝3 C．x2＋y2＝3(x≠0) D．x2＋y2＝2(x≠0) 答案　C 解析　根据题意画出示意图，圆心C(m，2)，半径r＝，设切点P(x，y)，由切线的性质可知|OP|2＝|OC|2－|PC|2，∵|OP|2＝x2＋y2，|OC|2＝m2＋4，|PC|2＝r2＝m2＋1，∴x2＋y2＝3，由直线l的斜率为k知点P不在y轴上，∴切点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x≠0)．故选C． 4．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)，(2，0)，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0) 答案　C 解析　易知BC的中点D即为原点O，所以|OA|＝|AD|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0．故选C． 5．点A(2，0)，点B在圆x2＋y2＝1上，点C是∠AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝ B．＋y2＝ C．＋y2＝ D．＋y2＝ 答案　A 解析　设B(x0，y0)，C(x，y)．由＝2，得＝2，即(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)⇒因为点B(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，代入后化简得＋y2＝．故选A． 二、填空题 6．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________． 答案　一条射线和一条直线 解析　由方程得或x－3＝0，即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3．故方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是一条射线和一条直线． 7．直线＋＝1与x，y轴交点连线的中点的轨迹方程是________． 答案　x＋y＝1(x≠0，x≠1) 解析　直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1．因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1． 8．设A为圆B：(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则|PB|＝________，动点P的轨迹方程是________． 答案　　(x－1)2＋y2＝2 解析　设点P的坐标为(x，y)，∵圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，半径r＝1，PA是圆的切线，∴|PB|2＝|PA|2＋r2＝2，∴|PB|＝．∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2． 三、解答题 9．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，∠A为顶角，求另一腰的一个端点C的轨迹方程． 解　设点C的坐标为(x，y)， 因为△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，所以AB＝AC． 又因为|AB|＝＝2， 所以|AC|＝＝2． 所以(x－4)2＋(y－2)2＝40． 又因为点C不能与B重合，也不能使A，B，C三点共线． 所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(不包含(－2，0)和(10，4))． 10．已知点A(1，0)，B(4，0)，曲线C上任意一点P满足|PB|＝2|PA|． (1)求曲线C的方程； (2)设点D(3，0)，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)设P(x，y)，∵|PB|＝2|PA|， ∴＝2，化为x2＋y2＝4． ∴曲线C的方程为x2＋y2＝4． (2)设存在定点Q满足条件， 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立 化为x2＋(kx＋b)2＝4， ∴(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0， Δ＝4(4k2－b2＋4)＞0，　(※) ∴x1＋x2＝－，x1x2＝． ∵无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF， ∴kDE＋kDF＝0，∴＋＝0． ∴(kx1＋b)(x2－3)＋(kx2＋b)(x1－3)＝0， ∴2kx1x2＋(b－3k)(x1＋x2)－6b＝0， ∴2k·－(b－3k)·－6b＝0， 化为4k＋3b＝0， ∴k＝－b，满足(※)式． ∴y＝b，可得直线经过定点． 当直线l过点且斜率不存在时，显然满足条件． ∴存在过定点Q的直线l与曲线C交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$