2.2.4 点到直线的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．2．4　点到直线的距离 知识点一　点到直线的距离 1．点(0，1)到直线mx＋3y－2＝0的距离是，那么m的值是(　　) A．4 B．－3 C．4或－3 D．－4或4 答案　D 解析　由题意，得＝，故＝，即m2＋9＝25，解得m＝±4．故选D． 2．若点A(－1，5)和点B(3，1)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－1或－4 D．1或－4 答案　D 解析　由题意，得＝，即(6－a)2＝(3a＋2)2，解得a＝1或a＝－4．故选D． 3．已知点P到直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C． D．4 答案　C 解析　因为直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0平行，且点P到它们的距离相等，所以点P在直线l：x－y－3＝0上，当OP⊥l时，点P到坐标原点的距离最小，为＝．故选C． 4．已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________． 答案　 解析　当AB垂直于直线x＋y＝0时满足题意，故AB的方程为y－1＝x．解方程组得故点B的坐标为． 5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且到直线x－y－1＝0的距离等于，则点P的坐标为________． 答案　(2，－1)或(1，2) 解析　设P(x，y)，∵点P到直线x－y－1＝0的距离为，∴＝，∴x－y－1＝2或x－y－1＝－2．从而或解得或 知识点二　两条平行直线之间的距离 6．两条平行直线3x－4y－3＝0与mx－8y＋5＝0间的距离是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝．故选A． 7．[多选]若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是(　　) A．30° B．75° C．150° D．165° 答案　BD 解析　设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sinα＝＝，所以α＝45°，因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°．故选BD． 8．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　由题意，设所求直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3，C≠－1)，因为直线l与两直线l1，l2的距离相等，即＝，解得C＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0． 9．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0，7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，则直线l的方程为________． 答案　7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0 解析　∵直线l平行于l1，可设l的方程为7x＋8y＋C＝0(C≠9，C≠－3)，∴d1＝．同理，可得d2＝．∵2d1＝d2，∴2×＝，解得C＝21或C＝5，于是直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0． 10．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是． (1)求a的值； (2)是否存在一点P，同时满足下列三个条件？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． ①点P在第一象限； ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的； ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶． 解　(1)直线l2的方程等价于2x－y－＝0， 所以两条平行线l1与l2间的距离 d＝＝，即＝． 又因为a＞0，解得a＝3． (2)假设存在点P．设点P(x0，y0)， 若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，且＝·，解得C＝或， 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0． 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 得＝·， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0． 若点P满足条件①，则3x0＋2＝0不符合题意，舍去． 解方程组得 不满足条件①，舍去． 解方程组得 满足条件①． 所以存在点P同时满足三个条件． 一、选择题 1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． B． C． D．2 答案　A 解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝．故选A． 2．已知直线l的斜率为1，若点M(2，－1)和点N(4，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　) A．3x－y－3＝0 B．3x－y＋3＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y－3＝0 答案　C 解析　设直线l的方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0，若点M(2，－1)和点N(4，5)到直线l的距离相等，则＝，即|3＋b|＝|－1＋b|，解得b＝－1，所以直线l的方程为x－y－1＝0．故选C． 3．点P(a，b)到直线l1：5x－12y－6＝0和直线l2：5x－12y＋20＝0的距离之差的绝对值的取值范围是(　　) A．[0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．(0，2) 答案　B 解析　因为直线l1：5x－12y－6＝0与直线l2：5x－12y＋20＝0平行，所以两条直线之间的距离为＝2．当点P(a，b)在两条直线之间时，点P(a，b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值在[0，2)内；当点P(a，b)在其中一条直线上或者在两条直线之外时，点P(a，b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值等于两条直线之间的距离2．综上可得，点P(a，b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值的取值范围是[0，2]．故选B． 4．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为(　　) A．49π B． C． D． 答案　C 解析　将直线3x＋4y＋12＝0化为6x＋8y＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为＝，半径为，故圆的面积为． 5．[多选]已知直线l经过两直线3x＋4y＋1＝0与2x＋y＋4＝0的交点，且M(－1，3)到l的距离与N(2，－4)到l的距离之比为1∶3，则直线l的方程可能为(　　) A．9x－y＋29＝0 B．9x＋y＋25＝0 C．3x＋11y－13＝0 D．3x－11y＋31＝0 答案　AC 解析　联立方程组解得当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，M到l的距离为2，N到l的距离为5，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，由3×＝，解得k＝9或k＝－，所以直线l的方程为y－2＝9(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即9x－y＋29＝0或3x＋11y－13＝0．故选AC． 二、填空题 6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取的不同实数值的个数为________． 答案　3 解析　解方程＝(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4． 7．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________． 答案　x－y－1＝0或x＝1 解析　当直线l的斜率不存在时，显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1．当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵点A，B到l的距离相等，∴＝，∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0． 8．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________，靠近点A的AB的三等分点N到点M的最短距离为________． 答案　3　 解析　由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋C＝0，则＝，即C＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3．设点N在直线x＋y＋m＝0上，则＝×，即m＝－9(舍去)或m＝－，点M，N之间的最短距离为点M所在直线与点N所在直线间的距离，即＝． 三、解答题 9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0． (1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值； (2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离． 解　(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0， 由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2． (2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0， 当l1∥l2时，联立 解得a＝3，此时，l1的方程为3x＋3y＋1＝0， l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0， 故直线l1与l2间的距离为d＝＝． 10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程． 解　设直线AB的方程为＋＝1(a>0，b>0)， ∴A(a，0)，B(0，b)． ∵MA⊥MB， ∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0， 即a＝10－2b． ∵a>0，b>0，∴0<b<5，0<a<10． ∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0， ∴点M到直线AB的距离为d＝． ∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝|2b＋4a－ab| ＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20， △OAB的面积S2＝ab＝5b－b2． ∵直线AB平分四边形OAMB的面积， ∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，解得或 ∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$