2.2.4 点到直线的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

2．2．4　点到直线的距离

知识点一　点到直线的距离

1．点(0，1)到直线mx＋3y－2＝0的距离是，那么m的值是(　　)

A．4 B．－3

C．4或－3 D．－4或4

答案　D

解析　由题意，得＝，故＝，即m2＋9＝25，解得m＝±4．故选D．

2．若点A(－1，5)和点B(3，1)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　)

A．－1 B．1

C．－1或－4 D．1或－4

答案　D

解析　由题意，得＝，即(6－a)2＝(3a＋2)2，解得a＝1或a＝－4．故选D．

3．已知点P到直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为(　　)

A．3 B．2

C． D．4

答案　C

解析　因为直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0平行，且点P到它们的距离相等，所以点P在直线l：x－y－3＝0上，当OP⊥l时，点P到坐标原点的距离最小，为＝．故选C．

4．已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________．

答案　

解析　当AB垂直于直线x＋y＝0时满足题意，故AB的方程为y－1＝x．解方程组得故点B的坐标为．

5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且到直线x－y－1＝0的距离等于，则点P的坐标为________．

答案　(2，－1)或(1，2)

解析　设P(x，y)，∵点P到直线x－y－1＝0的距离为，∴＝，∴x－y－1＝2或x－y－1＝－2．从而或解得或

知识点二　两条平行直线之间的距离

6．两条平行直线3x－4y－3＝0与mx－8y＋5＝0间的距离是(　　)

A． B． 

C． D．

答案　A

解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝．故选A．

7．[多选]若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是(　　)

A．30° B．75°

C．150° D．165°

答案　BD

解析　设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sinα＝＝，所以α＝45°，因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°．故选BD．

8．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为________．

答案　2x－y＋1＝0

解析　由题意，设所求直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3，C≠－1)，因为直线l与两直线l1，l2的距离相等，即＝，解得C＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0．

9．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0，7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，则直线l的方程为________．

答案　7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0

解析　∵直线l平行于l1，可设l的方程为7x＋8y＋C＝0(C≠9，C≠－3)，∴d1＝．同理，可得d2＝．∵2d1＝d2，∴2×＝，解得C＝21或C＝5，于是直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0．

10．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是．

(1)求a的值；

(2)是否存在一点P，同时满足下列三个条件？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．

解　(1)直线l2的方程等价于2x－y－＝0，

所以两条平行线l1与l2间的距离