2.2.4 点到直线的距离（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.2.4 点到直线的距离 题型一 点到直线的距离及应用 1．（23-24高二上·江西宜春·月考）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由点线距离公式有.故选：A 2．（23-24高二上·河北张家口·月考）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．1或-8 【答案】C 【解析】因为两点到直线的距离相等， 所以或，故选：C. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等， 所以点在直线上， 当时，点到坐标原点距离的最小，为故选：C 4．（23-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ，故选：B 题型二 平行线间的距离及应用 1．（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两平行线之间的距离公式可得.故选：C 2．（23-24高二上·安徽淮北·月考）（多选）若直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】AC 【解析】直线可化为， 所以，即，解得或.故选：AC. 3．（23-24高二上·福建南平·月考）两直线与平行，则它们之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为两直线平行，所以，解得，将化为， 由两条平行线间的距离公式得.故选：D． 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】依题意设所求直线方程为， 则两平行直线间的距离，解得或， 所以所求直线方程为或.故选：B 题型三 点、直线关于点的对称 1．（22-23高二上·河北石家庄·月考）与直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即， 2．（23-24高二上·山东·月考）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 3．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故，故选：A 4．（23-24高二上·甘肃兰州·月考）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B． 题型四 点、直线关于直线的对称 1．（23-24高二上·山西吕梁·月考）点关于直线对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点为. 则，解得.故选：B. 2．（23-24高二上·江西上饶·期中）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 3．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得， 即，相互平行，的斜率为，故.故选：C. 4．（23-24高二上·北京·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设直线与直线关于轴对称，所以， 在中，令，则， 所以直线与轴的交点为，即直线与轴的交点为， 所以直线的方程为，整理得. 题型五 反射光线问题 1．（22-23高二上·河南南阳·月考）若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设A关于直线的对称点为， 则，解得，即， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， ∴直线的方程为：代入， 可得，故.故选：C. 2．（23-24高二上·福建宁德·月考）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【解析】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：，整理得：. 3．（23-24高二上·重庆·月考）已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 【答案】 【解析】因为，， 所以直线的方程为： 点关于轴的对称点， 设点关于直线的对称点， 则，，解得，． ， 所以根据反射原理的对称性， 光线所经过的路程为 ， 4．（23-24高二上·河南·月考）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 【答案】 【解析】如图，设关于对称的点为， 由得即. 设关于对称的点为，由 得即. 易得该光线经过的路程长度为. 题型六 将军饮马求最值问题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．故选：C. 2．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号，故选：B. 3．（23-24高二上·新疆塔城·月考）代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】4 【解析】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 4．（23-24高二上·贵州仁怀·月考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】5 【解析】作出图示， 设点关于直线的对称点为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当A、、三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为. 1．（23-24高二上·福建三明·月考）点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于 到直线的最短距离为0，此时直线经过点． 又， 所以到直线的距离的取值范围是．故选：B． 2．（23-24高二下·江苏连云港·月考）设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故，故选：B 3．（23-24高二上·河南·月考）（多选）已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由点到直线的距离相等， 得直线过线段的中点或， 对于A，直线的方程为，即，故A选项符合； 对于B，将线段的中点代入得， 所以直线过线段的中点，故B符合； 对于C，将线段的中点代入得， 所以直线不过线段的中点，故C不符合； 对于D，将线段的中点代入得， 所以直线过线段的中点，故D符合.故选：ABD. 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 【答案】 【解析】直线的方程可化为， 令，解得，所以直线过定点， 当直线经过时，此时，即，故， 当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明： 当与直线垂直时，记直线为， 当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为， 过作交于点，如下图所示， 由图可知：为直角三角形且为斜边，所以， 所以取最大值时，与直线垂直，故， 但此时的方程为，即为， 此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以， 5．（23-24高二上·河北石家庄·月考）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为直线可化为，所以该直线过定点， 因为直线可化为，所以该直线过定点， 又因为对任意，， 所以直线与直线垂直， 又因为直线与直线相交于点, 所以. 记,则， 所以其中， 当且仅当时，有最大值为. 6．（23-24高二上·天津河西·月考）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 7．（223-24高二上·陕西西安·月考）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.4 点到直线的距离 题型一 点到直线的距离及应用 1．（23-24高二上·江西宜春·月考）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·河北张家口·月考）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．1或-8 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（23-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二 平行线间的距离及应用 1．（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽淮北·月考）（多选）若直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．4 B． C． D．8 3．（23-24高二上·福建南平·月考）两直线与平行，则它们之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型三 点、直线关于点的对称 1．（22-23高二上·河北石家庄·月考）与直线关于点对称的直线方程是 ． 2．（23-24高二上·山东·月考）直线关于点对称的直线方程为 ． 3．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 4．（23-24高二上·甘肃兰州·月考）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 题型四 点、直线关于直线的对称 1．（23-24高二上·山西吕梁·月考）点关于直线对称的点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西上饶·期中）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 3．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高二上·北京·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 题型五 反射光线问题 1．（22-23高二上·河南南阳·月考）若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建宁德·月考）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 3．（23-24高二上·重庆·月考）已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 4．（23-24高二上·河南·月考）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 题型六 将军饮马求最值问题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆塔城·月考）代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 4．（23-24高二上·贵州仁怀·月考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ． 1．（23-24高二上·福建三明·月考）点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏连云港·月考）设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·河南·月考）（多选）已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 5．（23-24高二上·河北石家庄·月考）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为 ． 6．（23-24高二上·天津河西·月考）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 7．（223-24高二上·陕西西安·月考）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$