2.2.4 点到直线的距离 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

点到直线的距离 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式，并能用公式解决相关距离问题； 2.掌握两条平行直线之间的距离公式，会求两平行线间的距离. 学习活动 目标一：掌握点到直线的距离公式，并能用公式解决相关点到直线的距离问题. 任务1：会使用向量工具推导点到直线距离公式. 思考：如图，在铁路的附近有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？ 问题1：若设该仓库为点P (–1，2)，铁路为直线l1：2x + y – 5 = 0，试用向量法求出它们之间的距离？ 问题2：结合上述计算过程，求P (x0，y0) 到直线l：Ax + By + C = 0的距离d. 小结：点到直线距离公式：. 练一练：利用点到直线的距离公式计算点P (–1，2)到直线l1：2x + y – 5 = 0的距离？ 问题3：试用向量的数量积推导点P (x0，y0) 到直线l：Ax + By + C = 0的距离公式. 任务2：会用点到直线的距离公式解决相关距离问题. 问题1：已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，求△ABC的BC边上的高. 练一练：已知点A(1，3)，B(2，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 目标二：掌握两条平行直线之间的距离公式 任务：利用点到直线的距离公式，求两条平行直线之间的距离. 思考：根据点到直线距离的求法，如何求两条平行线之间的距离？ 问题1：求平行线与之间的距离. 问题2：已知直线，，求证：l1与l2之间的距离为. 练一练：已知两平行直线l1：3x + 5y + 1 = 0和l2：6x + 10y + 5 = 0，求l1与l2间的距离. 方法小结：两平行线间的距离公式： （1）当两条平行直线的方程中x，y系数相同时，才可套用； （2）当两条平行直线的方程中x，y系数不相同时，可先化为相同系数，再进行求解. 学习总结 任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.点到直线的距离公式有什么使用要求？若直线中A或B为零时，还能使用该距离公式吗？ 2.使用两平行线间的距离公式时，需要注意哪些问题？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 点到直线的距离 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式，并能用公式解决相关距离问题； 2.掌握两条平行直线之间的距离公式，会求两平行线间的距离. 学习活动 目标一：掌握点到直线的距离公式，并能用公式解决相关点到直线的距离问题. 任务1：会使用向量工具推导点到直线距离公式. 思考：如图，在铁路的附近有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？ 参考答案：平面内点到直线的距离：过这个点作直线的垂线所得的垂线段的长度. 问题1：若设该仓库为点P (–1，2)，铁路为直线l1：2x + y – 5 = 0，试用向量法求出它们之间的距离？ 参考答案：如图所示，设点P1 (x1，y1)是直线l1上的一点，且PP1⊥l1， 则P到l1的距离等于PP1的长， 因为= (x1 + 1，y1 – 2)，且直线l1的一个法向量为= (2，1)， 由与共线可得2 × (y1 – 2) = 1 × (x1 + 1)，即①； 又因为P1 (x1，y1)是直线l1上的点，所以②； 联立①与②，得，解得x1 = 1，y1 = 3，即P1 (1，3)， 所以= (2，1)，因此，即所求距离为. 问题2：结合上述计算过程，求P (x0，y0) 到直线l：Ax + By + C = 0的距离d. 参考答案：设P1 (x1，y1) 是直线l上的一点，且PP1⊥l， 因此； 因为= (x1 – x0，y1 – y0)，且直线l的一个法向量为= (A，B)， 因此与共线，得A(y1 – y0) = B(x1 – x0)，整理得 B(x1 – x0) – A(y1 – y0) = 0 ①； 又因为P1 (x1，y1)是直线l上的点，所以②； 在②的左右两边同时减去Ax0、By0，整理得 ③ 将①和③两边平方后相加可得： ， 因此，即. 小结：点到直线距离公式：. 练一练：利用点到直线的距离公式计算点P (–1，2)到直线l1：2x + y – 5 = 0的距离？ 参考答案：；与问题1中计算的结果一致. 问题3：试用向量的数量积推导点P (x0，y0) 到直线l：Ax + By + C = 0的距离公式. 参考答案：因为= (A，B)是直线l的一个法向量， 设P1 (x，y) 是直线l上任意一点，则由向量数量积的几何意义可知，P (x0，y0) 到直线l的距离d满足； 因为= (x – x0，y – y0)， 所以， 又因为P1 (x，y)是直线l上的点， 所以，即， 从而. 任务2：会用点到直线的距离公式解决相关距离问题. 问题1：已知