2.2.3 第2课时 两条直线的垂直-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

第2课时　两条直线的垂直

知识点一　两条直线的垂直

1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)

A．平行 B．重合

C．相交但不垂直 D．垂直

答案　D

解析　设l1与l2的斜率分别为k1，k2，则由根与系数的关系知k1k2＝－1，所以l1与l2互相垂直．故选D．

2．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)

A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

答案　A

解析　直线2x－3y＋4＝0的斜率为，由题设知，直线l的斜率为－．由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0．

3．已知直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，直线l2经过(2，1)，(6，y)两点，且l1⊥l2，则y＝(　　)

A．－2 B．1 C．2 D．4

答案　B

解析　因为l1⊥l2，且直线l1的斜率不存在，所以直线l2的斜率k＝0，所以y＝1．

4．已知直线l1：mx＋3y－1＝0，l2：x＋(m－4)y＋2＝0，若l1⊥l2，则m＝________．

答案　3

解析　直线l1：mx＋3y－1＝0，l2：x＋(m－4)y＋2＝0，

若l1⊥l2，则m×1＋3×(m－4)＝0，解得m＝3．

5．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

解　(1)联立两直线方程

解得则两直线的交点为P(－2，2)．

∵直线x－2y－1＝0的斜率为k′＝，

所求直线l垂直于直线x－2y－1＝0，

那么所求直线l的斜率k＝－＝－2，

∴所求直线l的方程为y－2＝－2(x＋2)，

即2x＋y＋2＝0．

(2)对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0，则x＝－1，则直线与x轴交点坐标为A(－1，0)，令x＝0，则y＝－2，则直线与y轴交点坐标为B(0，－2)，直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，∴S＝|OA|·|OB|＝×1×2＝1．

知识点二　对称问题

6．从点(2，3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在直线的方程为________．

答案　x＋2y－4＝0

解析　由题意得，射出的光线的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0，2)，又(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，∴反射光线所在直线过(0，2)，(－2，3)，故所求直线方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0．

7．已知点A(2，3)关于直线l的对称点为B(－2，7)，求直线l的方程．

解　由题意可知，直线l为线段AB的垂直平分线，易求线段AB的中点坐标为(0，5)，又kAB＝＝－1，

∴线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－＝1．

又直线l过点(0，5)，

∴直线l的方程为y－5＝x－0，即x－y＋5＝0．

8．求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程．

解　解法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0．

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0．

解法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．

可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0．

解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，

则可设l的方程为3x－y＋C＝0(c≠－4)．

在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，

则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，

所以3×4－2＋C＝0，C＝－10．

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0．

9．求直线y＝2x＋1关于直线x＋y＋1＝0对称的直线l的方程．

解　由解得

∴两直线交点P．

在y＝2x＋1上取一点M(0，1)，设M关于直线x＋y＋1＝0的对称点为M′(a，b)，则解得

∴M′(－2，－1)．所以直线l过M′(－2，－1)及P，由两点式得＝，化为一般式，可得所求直线l的方程为x－2y＝0．

一、选择题

1．给出下列命题：

①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；