2.2.3 第2课时 两条直线的垂直-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　两条直线的垂直 知识点一　两条直线的垂直 1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 答案　D 解析　设l1与l2的斜率分别为k1，k2，则由根与系数的关系知k1k2＝－1，所以l1与l2互相垂直．故选D． 2．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 答案　A 解析　直线2x－3y＋4＝0的斜率为，由题设知，直线l的斜率为－．由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0． 3．已知直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，直线l2经过(2，1)，(6，y)两点，且l1⊥l2，则y＝(　　) A．－2 B．1 C．2 D．4 答案　B 解析　因为l1⊥l2，且直线l1的斜率不存在，所以直线l2的斜率k＝0，所以y＝1． 4．已知直线l1：mx＋3y－1＝0，l2：x＋(m－4)y＋2＝0，若l1⊥l2，则m＝________． 答案　3 解析　直线l1：mx＋3y－1＝0，l2：x＋(m－4)y＋2＝0， 若l1⊥l2，则m×1＋3×(m－4)＝0，解得m＝3． 5．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S． 解　(1)联立两直线方程 解得则两直线的交点为P(－2，2)． ∵直线x－2y－1＝0的斜率为k′＝， 所求直线l垂直于直线x－2y－1＝0， 那么所求直线l的斜率k＝－＝－2， ∴所求直线l的方程为y－2＝－2(x＋2)， 即2x＋y＋2＝0． (2)对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0，则x＝－1，则直线与x轴交点坐标为A(－1，0)，令x＝0，则y＝－2，则直线与y轴交点坐标为B(0，－2)，直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，∴S＝|OA|·|OB|＝×1×2＝1． 知识点二　对称问题 6．从点(2，3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在直线的方程为________． 答案　x＋2y－4＝0 解析　由题意得，射出的光线的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0，2)，又(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，∴反射光线所在直线过(0，2)，(－2，3)，故所求直线方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0． 7．已知点A(2，3)关于直线l的对称点为B(－2，7)，求直线l的方程． 解　由题意可知，直线l为线段AB的垂直平分线，易求线段AB的中点坐标为(0，5)，又kAB＝＝－1， ∴线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－＝1． 又直线l过点(0，5)， ∴直线l的方程为y－5＝x－0，即x－y＋5＝0． 8．求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程． 解　解法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0． 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0． 解法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)． 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋C＝0(c≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)， 则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上， 所以3×4－2＋C＝0，C＝－10． 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0． 9．求直线y＝2x＋1关于直线x＋y＋1＝0对称的直线l的方程． 解　由解得 ∴两直线交点P． 在y＝2x＋1上取一点M(0，1)，设M关于直线x＋y＋1＝0的对称点为M′(a，b)，则解得 ∴M′(－2，－1)．所以直线l过M′(－2，－1)及P，由两点式得＝，化为一般式，可得所求直线l的方程为x－2y＝0． 一、选择题 1．给出下列命题： ①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； ②若两直线平行，则它们的斜率相等； ③若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直； ④若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1． 其中正确的命题是(　　) A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全错 答案　B 解析　当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两条不重合的直线都与x轴垂直时，它们平行，其斜率不存在，故②错误；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故④错误． 2．直线2mx＋y－2＝0与直线x＋(3－m2)y＋2＝0互相垂直，且两直线的交点位于第三象限，则实数m的值为(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 答案　C 解析　因为直线2mx＋y－2＝0与直线x＋(3－m2)y＋2＝0互相垂直，所以2m＋3－m2＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝3时，联立解得交点坐标为，不符合题意；当m＝－1时，联立 解得交点坐标为，符合题意．综上，m＝－1．故选C． 3．若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角为(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° 答案　B 解析　易知直线PQ的斜率kPQ＝＝－1．由题意，可知直线PQ与直线l垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的倾斜角为45°． 4．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点A为直角顶点的直角三角形 D．以点B为直角顶点的直角三角形 答案　C 解析　kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝＝，因为kAB·kAC＝－1，所以三角形是以点A为直角顶点的直角三角形． 5．[多选]已知直线l1：nx＋y－2＝0，l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则m，n的值可能为(　　) A．2，1 B．2， C．－1，3 D．4， 答案　BCD 解析　由题意得两条直线互相垂直，所以－n×＝－1，即n(m＋2)＝3．故选BCD． 二、填空题 6．已知A(7，－4)，B(－5，6)，则直线AB的一般式方程是________________，过AB中点且垂直于AB的直线方程的一般式是________________． 答案　5x＋6y－11＝0　6x－5y－1＝0 解析　∵直线AB过A，B两点，∴y＋4＝(x－7)，整理得，直线AB的方程为5x＋6y－11＝0，∵所求直线垂直于AB，∴设其方程为6x－5y＋m＝0，又此直线过AB的中点(1，1)，代入得m＝－1，∴所求直线方程为6x－5y－1＝0． 7．若直线l1：mx－3y＋2＝0与直线l2：x＋(m－1)y－1＝0垂直，则实数m的值为________． 答案　 解析　因为直线l1：mx－3y＋2＝0的法向量为(m，－3)，直线l2：x＋(m－1)y－1＝0的法向量为(1，m－1)，由于l1与l2垂直，则对应法向量相互垂直，所以(m，－3)·(1，m－1)＝0，即m－3(m－1)＝0，则m＝． 8．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________． 答案　－2 解析　依题意，知直线l的斜率k＝tan135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有＝1，所以a＝0．又直线l2与l1平行，所以1＝－，即b＝－2，所以a＋b＝－2． 三、解答题 9．已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点．当a为何值时，直线AB与直线CD： (1)平行？ (2)垂直？ 解　kAB＝＝－，kCD＝＝(a≠2)． (1)kAB＝kCD，∴－＝，即a2－2a－3＝0． ∴a＝3或a＝－1． 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB． ∴直线AB与直线CD平行不重合． 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝， ∴直线AB与直线CD重合． 当a＝2时，kAB＝－，kCD不存在． ∴直线AB与直线CD不平行． ∴当a＝3时，直线AB与直线CD平行． (2)由－·＝－1，解得a＝． 当a＝2时，kAB＝－，直线CD的斜率不存在． ∴直线AB与直线CD不垂直． ∴当a＝时，直线AB与直线CD垂直． 10．(2023·辽宁抚顺高二校考期末)已知△ABC的顶点A(5，1)，重心G(3，3)． (1)求线段BC的中点坐标； (2)记△ABC的垂心为H，若B，H都在直线y＝－x上，求点H的坐标． 解　(1)设线段BC的中点为M(x0，y0)， 因为G为△ABC的重心，且A(5，1)，G(3，3)， 所以＝2， 即(－2，2)＝2(x0－3，y0－3)， 所以所以 所以线段BC的中点M的坐标为(2，4)． (2)因为BH的方程为y＝－x，且H为△ABC的垂心， 所以kBH·kAC＝－1，即－1·kAC＝－1， 所以kAC＝1， 所以直线AC的方程为y－1＝x－5，即y＝x－4， 所以设点C(xC，xC－4)， 又因为BC的中点M(2，4)，设B(xB，yB)， 则 即 又因为点B在直线y＝－x上， 即12－xC＝－(4－xC)， 所以xC＝8， 所以C(8，4)，所以kBC＝kMC＝＝0，则BC边上的高所在的直线AH的方程为x＝5，而点H也在直线BH：y＝－x上，所以点H的坐标为(5，－5)． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$