2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

2．2　直线及其方程

2．2．1　直线的倾斜角与斜率

 

知识点一　直线的倾斜角与斜率

1．给出下列命题：

①任意一条直线有唯一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；

④按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系；

⑤若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　A

解析　利用直线的倾斜角概念可知倾斜角α满足0°≤α<180°，则sinα∈[0，1]，因此命题②⑤不正确．又每一条直线有唯一倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条，因此命题③④不正确，命题①正确．故选A．

2．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的斜率是(　　)

A．0 B．

C． D．－

答案　C

解析　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为．

3．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2

答案　D

解析　由题图知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1<0．又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，∴0<k3<k2，∴k1<k3<k2．

4．[多选]已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则下列说法正确的是(　　)

A．当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角

B．当m∈(－5，1)时，直线MN的倾斜角为钝角

C．当m＝1时，直线MN的倾斜角为直角

D．当m＝－5时，直线MN的倾斜角为零

答案　AB

解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝<0，则－5<m<1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为零时，两点纵坐标相等，即m＝1．故选AB．

5．已知M(，0)，B，A(a，)三点共线，则a＝________．

答案　2

解析　易知直线MB的斜率kMB存在，又A，B，M三点共线，所以直线MA的斜率kMA存在，且kMA＝kMB，即＝，＝，所以a＝2．

6．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为________．

答案　(2，0)或(0，－8)

解析　设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2或y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．

7．已知直线l经过点P(1，1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．

(1)求直线PM与PN的斜率；

(2)求直线l的斜率k的取值范围．

解　(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为kPM＝＝－4，kPN＝＝．

(2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，

又kPN＝，∴k≥．

当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，

又kPM＝－4，∴k≤－4．

综上所述，k的取值范围为(－∞，－4]∪．

知识点二　直线的方向向量与法向量

8．若直线l的一个方向向量是e＝(1，)，则直线l的倾斜角为(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　由直线l的一个方向向量是e＝(1，)，得直线l的斜率为，设直线l的倾斜角是α(0≤α<π)，则tanα＝⇒α＝．故选B．

9．若直线l的一个方向向量为v＝(3m，－m)，m≠0，则直线l的斜率为________，倾斜角为________；直线l的一个法向量为________．

答案　－　150°　(－，－3)(答案不唯一)

解析　设直线l的倾斜角为θ，k＝tanθ＝－＝－，则θ＝150°．法向量与方向向量垂直，故直线l的一个法向量为(m，3m)，m≠0，可取m＝－1，得(－，－3)(答案不唯