2.1 坐标法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

2．1　坐标法

知识点一　平面直角坐标系中的基本公式

1．数轴上三点A，B，C，点A(－1)，点B(2)，点C到点A和点B的距离之和小于4，则点C的坐标范围为(　　)

A． B．

C． D．

答案　A

解析　设C(m)，由A(－1)，B(2)，得|AC|＋|BC|＝|m＋1|＋|m－2|<4，∴－<m<．∴点C的坐标范围为．故选A．

2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)

A．4 B．－4或2

C．－2 D．－2或4

答案　D

解析　∵＝5，∴a＝4或－2．

3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　)

A．2 B．3＋2

C．6＋3 D．6＋

答案　C

解析　由题意知|AB|＝＝3，|AC|＝＝3，|BC|＝＝3，故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3．故选C．

4．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3), 则点P(x，y)到原点的距离是(　　)

A．2 B．

C． D．2

答案　B

解析　∵点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，∴解得即P(4，1)，∴点P(4，1)到原点的距离为＝．故选B．

5．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________．

答案　(0，5)

解析　由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5．点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0，5)．

6．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，||＝5，||＝2，则点C的坐标为________．

答案　－4或0或6或10

解析　由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，则||＝3－xA＝5或||＝xA－3＝5，∴xA＝－2或xA＝8，∴||＝xC－xA＝xC－(－2)＝2或||＝xC－xA＝xC－8＝2或||＝xA－xC＝－2－xC＝2或||＝xA－xC＝8－xC ＝2，解得xC＝0或xC＝10或xC＝－4或xC＝6．故点C的坐标为－4或0或6或10．

7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)．

(1)当向量与2的坐标相等时，求x；

(2)当向量与2的坐标相等时，求x；

(3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，求x的取值范围．

解　由题意，可知向量的坐标为3－x，向量的坐标为1．

(1)当向量与2的坐标相等时，有3－x＝2，解得x＝1．

(2)当向量与2的坐标相等时，

有3－x＝2×(－1)，解得x＝5．

(3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，

有3－x＞2，解得x＜1，即x的取值范围为(－∞，1)．

知识点二　坐标法

8．用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且互相平分．

证明　以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图)．

设点A，B，C的坐标分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，(b，c)，由平行四边形的性质知点D的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)，

由中点坐标公式得

即E，F．

∴点E与点F重合，

∴▱ABCD的对角线相交且互相平分．

9．已知0＜x＜2，0＜y＜2，

求＋＋＋的最小值．

解　根据题意，设P(x，y)，A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，若0<x<2，0<y<2，则P在矩形ABCD的内部，

则＋＋

＋的几何意义为P到A，B，C，D四点的距离之和，

即＋＋＋

＝|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|，

分析可得，当P为矩形ABCD的对角线的交点，即(1，1)时，|PA|＋|PC|与|PB|＋|PD|同时取