2.1 坐标法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．1　坐标法 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．数轴上三点A，B，C，点A(－1)，点B(2)，点C到点A和点B的距离之和小于4，则点C的坐标范围为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设C(m)，由A(－1)，B(2)，得|AC|＋|BC|＝|m＋1|＋|m－2|<4，∴－<m<．∴点C的坐标范围为．故选A． 2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4 B．－4或2 C．－2 D．－2或4 答案　D 解析　∵＝5，∴a＝4或－2． 3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 答案　C 解析　由题意知|AB|＝＝3，|AC|＝＝3，|BC|＝＝3，故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3．故选C． 4．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3), 则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．2 B． C． D．2 答案　B 解析　∵点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，∴解得即P(4，1)，∴点P(4，1)到原点的距离为＝．故选B． 5．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________． 答案　(0，5) 解析　由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5．点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0，5)． 6．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，||＝5，||＝2，则点C的坐标为________． 答案　－4或0或6或10 解析　由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，则||＝3－xA＝5或||＝xA－3＝5，∴xA＝－2或xA＝8，∴||＝xC－xA＝xC－(－2)＝2或||＝xC－xA＝xC－8＝2或||＝xA－xC＝－2－xC＝2或||＝xA－xC＝8－xC ＝2，解得xC＝0或xC＝10或xC＝－4或xC＝6．故点C的坐标为－4或0或6或10． 7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)． (1)当向量与2的坐标相等时，求x； (2)当向量与2的坐标相等时，求x； (3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，求x的取值范围． 解　由题意，可知向量的坐标为3－x，向量的坐标为1． (1)当向量与2的坐标相等时，有3－x＝2，解得x＝1． (2)当向量与2的坐标相等时， 有3－x＝2×(－1)，解得x＝5． (3)当向量的坐标大于向量2的坐标时， 有3－x＞2，解得x＜1，即x的取值范围为(－∞，1)． 知识点二　坐标法 8．用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且互相平分． 证明　以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图)． 设点A，B，C的坐标分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，(b，c)，由平行四边形的性质知点D的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由中点坐标公式得 即E，F． ∴点E与点F重合， ∴▱ABCD的对角线相交且互相平分． 9．已知0＜x＜2，0＜y＜2， 求＋＋＋的最小值． 解　根据题意，设P(x，y)，A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，若0<x<2，0<y<2，则P在矩形ABCD的内部， 则＋＋ ＋的几何意义为P到A，B，C，D四点的距离之和， 即＋＋＋ ＝|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|， 分析可得，当P为矩形ABCD的对角线的交点，即(1，1)时，|PA|＋|PC|与|PB|＋|PD|同时取得最小值，此时|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|取得最小值，且其最小值为|AC|＋|BD|＝4． 一、选择题 1．点A(2，－3)关于点B(－1，0)的对称点A′的坐标是(　　) A．(5，－6) B．(－4，3) C．(3，－3) D． 答案　B 解析　设点A′(x，y)，则解得则点A′的坐标为(－4，3)．故选B． 2．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且－＝0，则(　　) A．原点一定是线段AB的中点 B．A，B一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上，但不是中点 D．以上结论都不正确 答案　D 解析　由－＝0得＝，即A，B两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB的垂直平分线上．故选D． 3．已知A(1，3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则|AP|－|BP|取最大值时的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(13，0) C．(5，0) D．(1，0) 答案　B 解析　如图，点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B交x轴于点P，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为y＝x－，令y＝0，得x＝13．所以点P的坐标为(13，0)． 4．已知A，B的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．20 B．12 C．5 D．4 答案　C 解析　如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝ ＝＝5． 5．[多选]如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点可以是(　　) A．(7，1) B．(2，7) C．(－3，1) D．(2，－3) 答案　AC 解析　由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x，1)，则|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即另一个端点坐标为(7，1)或(－3，1)．故选AC． 二、填空题 6．已知点M(2，2)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x＝________，y＝________． 答案　1　1 解析　∵点M(2，2)平分线段AB，∴点M是线段AB的中点，则解得 7．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有________个． 答案　2 解析　若点在x轴上，设为(x，0)，则有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝；若点在y轴上，设为(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－．∴在坐标轴上与A，B等距离的点有2个． 8．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a＝________． 答案　 解析　|AB|2＝(a＋1－5)2＋(a－4－2a＋1)2＝2a2－2a＋25＝2＋，所以当a＝时，|AB|取得最小值． 三、解答题 9．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标． 解　设点C(x，y)，边AC的中点为D，BC的中点为E， 则DE綊AB． 线段AC的中点D的坐标为， 线段BC的中点E的坐标为． 由直线AB与x轴不平行可知，若点D在y轴上，则＝0，所以x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x轴上，所以＝0，所以y＝－5，即C(－3，－5)． 若点D在x轴上，则＝0， 所以y＝－7，此时点E只能在y轴上， 即＝0， 所以x＝2，此时C(2，－7)． 如图所示． 综上可知，符合题意的点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)． 10．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解　以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图． 则A，B，C． 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝＋(－y)2＋＋(－y)2＋(－x)2＋＝3x2＋3y2－ay＋a2＝3x2＋3＋a2， ∴当P时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$