1.2.5 空间中的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2．5　空间中的距离 知识点一　空间中两点之间的距离 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则MN的长为(　　) A．a B．a C．a D．a 答案　A 解析　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝0，由条件知，＝－＝(＋)－＝(＋＋)－(＋＋)＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，||2＝＝＝＝，∴||＝a．故选A． 2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则B，D两点间的距离为________． 答案　2或 解析　∵∠ACD＝90°，∴·＝0．同理，·＝0．∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°．又＝＋＋，∴·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．当〈，〉＝60°时，2＝4，||＝2，当〈，〉＝120°时，2＝2，||＝．∴B，D两点间的距离为2或． 知识点二　点到直线的距离 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　如图，过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥AB于点N，连接PN，因为AB⊂平面ABCD，所以PM⊥AB，又PM∩MN＝M，所以AB⊥平面PMN，从而PN⊥AB，则线段PN的长即为点P到直线AB的距离．因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且＝＋＋，所以AN＝，MN＝，PM＝，所以PN＝＝．故选B． 4．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________． 答案　3 解析　以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以＝(－4，3，0)．设D满足＝λ且PD⊥AB，连接CD，则＝＋λ＝(4，0，0)＋λ(－4，3，0)＝(4－4λ，3λ，0)，即D(4－4λ，3λ，0)，所以＝．又因为PD⊥AB，所以·＝0，即－4(4－4λ)＋9λ＝0，解得λ＝，因此＝，从而可知点P到斜边AB的距离为||＝＝3． 知识点三　点到平面的距离 5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝．设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(1，0，1)，所以点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝．故选B． 6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B． C． D． 答案　D 解析　如图，连接EG，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)．设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，0，2)，则点G到平面D1EF的距离为d＝＝＝．故选D． 7．已知平面α内一点P(8，9，5)，点Q(1，2，2)在平面α外，若α的一个法向量为n＝(4，3，－12)，则点Q到平面α的距离为________． 答案　1 解析　因为P(8，9，5)，点Q(1，2，2)，所以＝(－7，－7，－3)，又α的一个法向量为n＝(4，3，－12)，所以点Q到平面α的距离为＝＝＝1． 知识点四　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 8．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离． 解　因为M，R分别为OA，AD的中点，所以MR∥OD． 在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点， 所以NR∥CD． 又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D， 所以平面MNR∥平面OCD． 又MN⊂平面MNR， 所以MN∥平面OCD． 所以直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离． 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，N(2，1，0)， 所以＝(0，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，0)， 设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，得n＝(0，1，1)为平面OCD的一个法向量． 所以点N到平面OCD的距离d＝＝， 所以直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离都等于． 一、选择题 1．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，则A′C的中点E与AB的中点F之间的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a 答案　B 解析　由题易知A′(a，0，a)，C(0，a，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，则E，F，∴|EF|＝＝a．故选B． 2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　如图，以A为原点，，1的方向分别为x轴、z轴正方向，平面ABC内与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则A1(0，0，1)，B(2，0，0)，A(0，0，0)，C(1，，0)，所以＝(2，0，－1)，＝(1，，－1)，＝(2，0，0)．设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝2，则x＝1，y＝，所以n＝，所以点A到平面A1BC的距离为＝． 3．(2023·浙江杭州高二联考)已知空间直角坐标系中的点P(1，1，1)，A(2，0，1)，B(0，1，0)，则点P到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵P(1，1，1)，A(2，0，1)，B(0，1，0)，∴＝(－2，1，－1)，＝(－1，1，0)，||＝，＝＝，则点P到直线AB的距离为＝＝．故选D． 4．球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱都相切，则球心是正方体的体对角线交点，球的半径为r＝， 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，M(0，0，1)，O(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，＝(－1，1，1)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝2，即n＝(1，1，2)．球心O到平面ACM的距离为d＝＝＝．故平面ACM截球O所得截面圆的半径为＝．故圆锥的体积为V＝×π××＝．故选B． 5．[多选]已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．则下列结论正确的是(　　) A．点P到平面ABC的距离为2 B．线段PQ的长为2 C．直线AE到平面PFQ的距离为 D．点B到平面PFQ的距离为 答案　ACD 解析　对于A，∵PA⊥平面ABC，∴点P到平面ABC的距离即为PA的长，为2，A正确；如图，以A为原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，，的方向分别为y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．∵PA＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)．对于B，∵＝，∴PQ＝||＝＝，B错误；对于C，∵＝，＝(，3，0)，∴＝2．∵与无交点，∴AE∥FQ．又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，∴AE∥平面PFQ．∴点A到平面PFQ的距离就是直线AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0．又＝(0，2，－2)，∴n·＝2y－2z＝0，即y＝z．又＝，∴n·＝x＋y＝0，即x＝－y．令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1)．又＝，∴直线AE到平面PFQ的距离为＝，C正确；对于D，＝，∴点B到平面PFQ的距离为＝，D正确．故选ACD． 二、填空题 6．E(1，2，3)，F(1，1，0)分别为异面直线a，b上的点，且向量n＝(1，0，3)是同时垂直于直线a，b的向量，则异面直线a，b之间的距离为________． 答案　 解析　由题意得＝(0，－1，－3)，又n＝(1，0，3)是同时垂直于直线a，b的向量，故异面直线a，b之间的距离d＝＝＝． 7．在四棱锥P－ABCD中，设向量＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则顶点P到底面ABCD的距离为________． 答案　2 解析　设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝3，则y＝12，z＝4，∴n＝(3，12，4)，∴顶点P到底面ABCD的距离d＝＝＝2． 8．如图，已知一个60°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为______． 答案　2 解析　∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈，〉＝120°．∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，∴||＝2，故CD的长为2． 三、解答题 9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0)， 设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1)， 则即 解得 故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离 d＝＝＝． 10．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥CD，AD∥BC，AD＝CD＝2，BC＝3，A1C1与B1D1交于点E，G为棱BB1上一点，且BB1＝3BG，点C1到平面A1BD的距离为． 判断直线AG是否在平面AED1内，并说明理由． 解　以A为坐标原点，平面ABCD内过A且与AD垂直的直线为x轴，，的方向分别为y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱柱的高为m，则D(0，2，0)，B(2，－1，0)，B1(2，－1，m)，D1(0，2，m)，C1(2，2，m)，A1(0，0，m)，G，＝(2，－1，－m)，＝(2，2，0)，＝(0，2，－m)， 设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 取n1＝(3m，2m，4)． 所以点C1到平面A1BD的距离为 d＝＝ ＝，令＝， 解得m＝2． 连接AB1，设平面AB1D1的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 由＝(2，－1，2)，＝(0，2，2)， 则即 取n2＝(－3，－2，2)， 而＝，所以·n2＝2×(－3)＋(－1)×(－2)＋×2＝－≠0， 又AB1与AE，AD1共面，故直线AG不在平面AED1内． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$