1.2.2 第2课时 空间中平面与平面平行、垂直的证明-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

第2课时　空间中平面与平面平行、垂直的证明

知识点一　利用空间向量判断面面位置关系

1．给出下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的一个法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　B

解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，②中α∥β⇒n1∥n2，故①②不正确．易知③④正确．故选B．

2．设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．

答案　垂直

解析　∵a·b＝(－1，2，－4)·(2，3，1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∵平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，∴α⊥β．

3．设u，v分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系．

(1)u＝(1，－1，2)，v＝；

(2)u＝(0，3，0)，v＝(0，－5，0)；

(3)u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)．

解　(1)∵u＝(1，－1，2)，v＝，

∴u·v＝3－2－1＝0．∴u⊥v，∴α⊥β．

(2)∵u＝(0，3，0)，v＝(0，－5，0)，∴u＝－v，∴u∥v，

∴平面α，β可能平行，也可能重合．

(3)∵u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)，

∴u与v既不共线也不垂直，

∴平面α与β相交(不垂直)．

4．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．

求证：平面ADD1A1∥平面FCC1．

证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，底面ABCD为等腰梯形，所以BF＝BC＝CF，则△BCF为正三角形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°．

取AF的中点M，

连接DM，

则DM⊥AB，

所以DM⊥CD．

以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，

所以＝(0，0，2)，＝(，－1，0)．

设平面FCC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则

令x＝1，可得平面FCC1的一个法向量为n＝(1，，0)，

因为D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，

所以＝(，－1，0)，＝(0，0，2)．

设平面ADD1A1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则

令x1＝1，可得平面ADD1A1的一个法向量为m＝(1，，0)．

所以m＝n，即m∥n，所以平面ADD1A1∥平面FCC1．

5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝a，E，F分别是BB1，CC1上的点，且BE＝a，CF＝2a．求证：平面AEF⊥平面ACF．

证明　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设a＝2，

则A(0，0，0)，E(，1，2)，F(0，2，4)，

∴＝(，1，2)，＝(0，2，4)．

∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1，0，0)．

设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则

取z＝1，得n＝(0，－2，1)．

∵m·n＝0，∴m⊥n，∴平面AEF⊥平面ACF．

知识点二　三垂线定理及其逆定理

6．如图，BC是Rt△ABC的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有(　　)