训练八 面面位置关系、三垂线定理及其逆定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

n=(z.y,z). 所以BG·AP=0,且BG·AE=0. BC·n=0, 所以BG⊥AP,BGLAE,且AE∩AP=A. 由 BA·n=0, 所以BG⊥平面PAE 可得名1士20令x=1,得y==1, (2)假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE -2x+2x=0, 设BH=ABG(0≤A≤1)，则FH=FB+BH=AB-AF 所以n=(1,1,1),所以n·DE=-2+21+1=0, +1BG=(1-A,2A-1,-1). 解得=号故点E的坐标为0,12》。 因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE, 所以FH·BG=(-1)X(1-λ)+2(2x-1)十0X(-1)= 答案A 12.解析如图，建立空间直 5议-3=0，所以X=号 角坐标系，设棱长为2，则 D 所以，在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE. A(2,0,0),F(0,1,0), B(2,2,2),D(0,0,2), A 共中腮号 =5 E(1,20) 训练八面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 DE=(1.2,-2) D 1.解折因为a∥R、所以n∥m,则2-号=是，解 AF=(-21,0) 得k=4. AB=(0,2,2). 答案D 若D,E⊥平面AB,F, 2.解析：a⊥B,.平面a:3的法向量相互垂直，a·b =(-1,2,4)·(x,-1,-2)=-x一2-8=0，.x= 则DELA即1x0+2X2+（-2X2=0, -10. DE⊥AF, 11×(-2)+21+(-2)×0=0 答案B 解得=1，片以部-子 3.解析两个平面平行，其法向量也平行，所以选D 答案D 1 答案立 4.解析以D为原点，DA,DC,DD分别为x轴、y轴、 :轴建立空间直角坐标系，如图： 13解(1)在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标 为A(2,0,2),E(1,2,0).D(0,0,2).F(2,2,1), D AE=(-1,2,-2),DF=(2,2,-1), 所以AE·D,F=-2+4+2=4, (2)存在唯一直线MN,使MV⊥平面ABCD 设M(xy),N(x), ”” 且A,M=AA,E,D,N=tD,F, 则(x1-2,y8-2)=1(-1.2,-2) (xy-2)=1(2,2,-1), 设正方体ABCD-A,BC,D的棱长为1， 所以M(2-a,2A,2-2n),N(24,21,2-1), 故MN=(21-2+x,24-2x,2x-t). 则A1,0,0,D(0,0,0,E(1l,2)A(1,0,1) 若MN⊥平面ABCD, D,(0.0,1).F(0,号0）则DA=1,0.0, 则MN与平面ABCD的法向量n=(0,0,1)平行， DE=(11）D,A=1,00.DF-(o-1 所以212十入0：解得=号 21-21=0, 设平面AED的一个法向量为n,=(x1,y,,),平面 所以点MN的垒标分别足（待言号》（告·专》。 A,FD,的一个法向量为n:=(xy,名)， 14.解(1)证明因为四棱锥P-ABCD底面是正方形， 则nlDA, 以 n·DA=0, 且PA⊥平而ABCD, n,⊥DE, n,·DE=0. 以点A为坐标原点，AB, m=0, AD,AP,所在直线分别为t 所以 1 所以T1=0, 轴、y轴、二轴建立如图所示 工+y+2=0. 空间直角坐标系， 取y=1,则1=-2，所以n1=(0,1,一2)， 则A(0.0.0),B(2,0,0),P(0,0. 同理可得n=(0,2,1). 2),C(2,2,0),D0,2.0). 因为11·=(0,1，一2)·(0,2,1)=0十2-2=0， 因为E,F,G分别是BC,PC, 所以n⊥n,故平面AED⊥平面A,FD. CD的中点，所以E(2,1,0), 答案B F1.1.1).G(1,2.0), 5.解析对A,:…a=1×2+(-1D×1+2×(-)=0, 所以BG=(-1,2,0),AP=(0,0.2),AE=(2,1,0), .ya,即（与m垂直，故A正骑： 60 对B,:a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0, .四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=2, .a⊥n,则l∥a或lCa,故B错误： .S,电单m=2Sum=2V3, 对C,:不存在实数入，使得n,=n,故m,与n不共线， 则a∥B不成立，故C错误： ,m-号×2后×2- 3 对D,可得AB=(-2,1,0),BC=(0,-1,1), 答案2 4v3 3 则n·A5=0印仁2士0解得u=2=2,即4一 12.解析设高为h,底面边长为1， n·BC=0, 1-w十1=0， O为△ABC的中，点，以O为原点 =0.故D正确。 建立如图所示空间直角坐标系， 答案AD 6.解析因为a∥b,再根据平面a与向量a=(一1,2，一4) 则P0.0hA(号.0o 垂直，平面3与向量b=(一2,4，一8)垂直，所以平面 a与3平行. 答案平行 7.解析a⊥34⊥v,∴μ·=0,3×（一2）+(-1) i-(停- ×(一y)十g×1=0,一6十y十g=0,.y十x=6. 答案6 P店-(-名-小 8.证明建立如图所示空间真角坐标系， 则E(0,2,1),F(0,1, 元（兽一 0),G(1,1,0). 所以EF=(0,一1，-1)， 得平面PAB的法向量m,=(,3·）: G=(1.-1,-10. 平面PAC的法向量n,=(3,-3,方) 设平面EFG的一个法向 由平面PAB⊥平面PAC,知⊥n 量是n=(x,y,x),则有 公 n⊥EF,n⊥EG 中n=0,得3一9叶2-0 所以◆ 解得为一故高与度面边长之比为：1=后：6 =1,得=-1，x=0, =1:√6. 即平面EFG的一个法向量是n=(0,1,一1). 答案1：√6 显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量 13.解(1)取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC, 又n·PA=0,所以n上PA, 以A为坐标原，点，过A且 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直， 与BF平行的直线为x轴， 所以平面EFGL平面PBC AC所在直线为y轴，AP 9.证明连接AC,:∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1, 所在直线为：轴，建立空 A C=AC=3. B 问直角坐标系，如图所示： 则A(0,0,0),B(3,1.0) C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1, 1. ∴.Rt△ACC,∽Rt△MCA, PB=(W3,1.-2), ∴∠AC,C=∠MA,C, AE=(0,1.1). ∴.∠A,MC,+∠ACC=∠A,MC+∠MA,C=90°， |PB·AE A,M⊥AC. 设直线AE,PB所成角为日，则cos0 :ABCA,BC为直三校柱， 1PB|·AE ∴BC⊥CC.又B,C⊥A,C,AC,∩CC=C, 11-21 1 ,∴.BC⊥平面AAC,由三垂线定理知，ABLA,M √3+1+4·√0+1+141 10解析取CD的中点P',连接PP',AP,MP'(图略)， 易知PP'⊥平面ABCD, 所以直线AE,PB所成角的余弦值为 所以MP为PM在平面ABCD内的射影. (2)设PA=a,则P(0,0,a), 由题意得，AM=6,MP=√3，AP=3, PB=(5,1,-a),PC=(0,2,-a). 所以AP=AM+MP,所以AMLMP, 设平面PBC的法向量m=(y), 由三垂线定理知AM⊥PM. 答案C 则 PB·m=5x,+y,-a=0, 11.解析，PA⊥平面ABCD,且BD⊥PC,由三垂线定 PC·m=2y1-a3,=0, 理的逆定理知，BD⊥AC. 义四边形ABCD为平行四边形， 今3=3，则m-(停。2）小 61 p(2)E(o1受) 要使平面PDN⊥平面PMN,有m,·n=O, 2.31-3=0 Ai-(停名号)a正-(.1号)月 化简得，12-9x+2=0,由于△=-15<0， 设平面ADE的法向量n=(x,y名)， 该一元二次方程无实数解，所以不存在入，使平面 .1 PDN⊥平面PMN. 训练九直线与平面的夹角 则 -++号=0 花n=%+号=0， 1.解析设1与a所成的角为0，则sin0=|cog《m,n〉|= 令=2，则4=（复，2） 分心0=60，故选B. 答案B 因为平面ADE⊥平面PBC, 2.解析易知x轴的方向向量为m=（1,0,0),设x轴与 所以m·n=0,申-了0-。+4=0，解得a=5 平面a所成的为0，则sin0=c0s(n,m)1=,】。=, 1X22 所以PA=3, 14.解(1)折叠前，直角△ABC中，AB⊥BC,∠BAC= 0=至，故选C 60°，D是AC的中点， 答案C 所以AD=AB=DB=2,∠DBC=30°，BC=23. 3.解析以D为原，点，DA 折叠后，由DB⊥平面PMN, 为x轴，DC为y轴，DD D 所以DB⊥MN,△PDB为等边三角形， 为：轴，建立空间直角坐 PD-PB=DB=2. 标系， 又点M为BD的中，点，所以DM=BM=1. 设正方体ABCD Rt△BMN中，∠DBC=30°， A,B,C,D,的棱长为2， 所以BN=部-2等所以=-司 则E(2,1,0),F(1,0,2),EF C0s30° (2)由平面PBD⊥平面DBC,PMLDB, =(-1,-1,2). 固为y轴与平面 所以PM⊥平面DBC AADD垂直，则平面 由(1)知，当BN=BC_2yE时，DB⊥MN,记此时 AADD的一个法向量n=(0,1,0). 3 3 设直线EF与平面AM,D,D所成角为0， 点N的位置为N, 以MN所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，MP所在 则sin0=cos(EF,n)= 1EF·n16 直线为~轴，M为坐标原，点建立直角坐标系，如图所示， |EF|·|n66 则M(0,0,0),P(0,03),B(0,1,0),D(0,-10), ∴直线EF与平面AA,D,D所成角的正弦值为6. N(3,1-3,0). 答案C 4.解析如图，PO是正四棱锥 P-ABCD的高， 设底面边长为《，则底面积为 S,=a,因为正四棱锥的侧棱 与底面所成的角为45°， 所以∠PA0=45.又A0= 乞a,所以PA=2X 故PM=(0,0,-3) a,所以△PAB是正三角形，面积为S,= a.所以 PD=(0,-1,-).PN=(5A,1-3x,-3) 设平而PDN的一个法向量n=(x1为)， 则·P=0所以 --3，=0， a =区，故选D 4 答案D n·PW=0, V3λx,+(1-3x)y,-3名=0， 5.解析由已知易得该三棱锥 令=1制a=(.-) 为正三棱锥，则顶，点在底而上 的射影正好落在底面的中心 设平面PMN的一个法向量n:=(x2yz), 上，如图所示。在三棱锥 Jm·PM=o, S-ABC中，O为底面中心，别 C m,·PV=0. 易得S01A0.A0-号SA -) -5=0, 2,则∠SAO即为侧棱与底面 所以 W3x+(1-3x)y:-√3：=0， 令头=，则m=(0) 所成的角别∠SA0-织誓故选D 答案D 62训练八面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 6.设平面a与向量a=(一1,2，一4)垂直，平 基磕练现固应用 面3与向量b=(一2,4，一8)垂直，则平面 1.设平面a的一个法向量为m=(1,2,一2)， a与3的位置关系是 平面3的一个法向量为n=(一2，一4，k), 7.两平面a,3的法向量分别为4=(3，一1， 若a∥3，则k= () ),v=(一2，一y,1),若a⊥3，则y+￥的 A.-5B.-4 C.-2 D.4 值是 2.若平面x,3的法向量分别为a=(一1,2， 8.在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互 4),b=(x,-1,-2),并且a⊥B,则x的值 相垂直，PA=PB=PC=3,G是△PAB 为 () 的重心，E,F分别为BC,PB上的点，且 A.10B.-10 c D.- BE EC=PF:FB=1:2. 求证：平面EFG⊥平面PBC. 3.已知平面a的一个法向量是(2，一1,1)，a ∥3，则下列向量可作为平面3的一个法向 量的是 ( A.(4,2,-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2) 4.在正方体ABCD-A,BC,D中，E,F分别 是BB,,CD的中点，则 () A.平面AED∥平面A,FD, B.平面AED⊥平面AFD C.平面AED与平面A,FD,相交但不 9.如图，在直三棱柱ABC 垂直 A1BC1中，∠ACB=90°， D.以上都不对 ∠BAC=30°，BC=1,AA 5.(多选)给出下列命题，其中正确的有() =√6，M是CC,中点. A.直线l的方向向量为v=(1,一1,2)，直 求证：AB,⊥A,M. 线m的方向向量为a=(2,1,-2),则 l与m垂直 B.直线1的方向向量a=(0,1,一1)，平面 a的法向量n=(1,一1，一1)，则l∥a C.平面a,3的法向量分别为n1=(0,1,3), n2=(1,0,2),则a∥3 D.平面a经过三点A(2,0,0),B(0,1,0), C(0,0,1),若向量n=(1,u,t)是平面a 的法向量，则一t=0 15 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 能力练进移运用 创新练了素能陪优 10.如图，在长方体ABCD 14.如图1，在直角△ABC中，∠ABC=90°， A1B1C1D1中，AB=2, ∠A=60°，AB=2.D,M分别是AC.BD AD=22,P为C,D1的 的中点.现将△ABD沿BD边折起，记折 中点，M为BC的中点. 起后的点A位于点P的位置，且平面 则AM与PM的位置关系为 PBD⊥平面DBC(如图2所示)，点N为 A.平行 B.异面 BC边上的-点，且=0<2<1. C.垂直 D.以上都不对 1山.如图所示，四棱锥 P-ABCD中，底面AB CD为平行四边形， ∠ABC=60°，PA=AB 图2 =2,PA⊥平面ABCD. (1)若DB⊥平面PMN,求λ的值： 若PC⊥BD,则AD= ,该四棱 (2)是否存在入，使平面PDN⊥平面 锥的体积为 PMN?若存在，求出入的值；若不存在， 12.若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直，则棱 说明理由. 锥的高与底面边长之比为 13.(2022·济南高二检 测)如图，在三棱锥 P-ABC中，已知PA D ⊥平面ABC,△ABC 是边长为2的正三角 形，D,E分别为PB, PC的中点. (1)若PA=2,求直线AE与PB所成角 的余弦值： (2)若平面ADE⊥平面PBC,求PA 的长. 16