1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及其应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　空间直角坐标系及其应用 知识点一　确定空间中点的坐标 1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　) A．y轴上 B．xOy平面上 C．zOx平面上 D．yOz平面上 答案　C 解析　因为点(2，0，3)的纵坐标为0，所以点(2，0，3)在zOx平面上．故选C． 2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及E，F，G的坐标． 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)， C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E，F，G． 知识点二　空间中点的对称 3．点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________． 答案　(1，2，1)，(1，－2，1) 解析　如图所示，过点A作AM⊥xOy交平面于点M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1，2，1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2，1)．所以A(1，2，－1)关于坐标平面xOy的对称点C的坐标为(1，2，1)；A(1，2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2，1)． 4．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 答案　(2，－3，1) 解析　点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，－3，1)． 知识点三　空间向量的坐标及其应用 5．(2023·湖北荆州高二统考)已知O(0，0，0)，N(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，则点B的坐标为(　　) A．(－1，3，－3) B．(9，1，1) C．(1，－3，3) D．(－9，－1，－1) 答案　B 解析　设B(x，y，z)，由＝得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，∴可得∴点B的坐标为(9，1，1)．故选B． 6．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为(　　) A．4 B．1 C．10 D．11 答案　D 解析　＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)．∵A，B，C，D共面，∴，，共面，∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴解得故选D． 7．(2023·陕西咸阳高二校考阶段考试)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为3，CA＝CB＝4，∠ACB＝，点D，E分别在AA1，B1C1上，F为AB的中点，若CD⊥FE，则线段AD的长度为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　以C为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)．由CA＝CB＝4，可得F(2，2，0)．设E(0，b，3)，D(4，0，c)，则＝(4，0，c)，＝(－2，b－2，3)．∵CD⊥FE，∴·＝0，即－8＋3c＝0，解得c＝．∴AD＝．故选B． 8．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是(　　) A．[0，5] B．[1，5] C．(1，5) D．(0，5) 答案　B 解析　||＝＝，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤||≤5．故选B． 9．已知A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________． 答案　0 解析　因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，A，B，C三点共线，所以∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0． 10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求cos〈，〉； (3)求FH的长． 解　(1)证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G． 易得＝，＝(－1，0，－1)， 则·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， 所以⊥，即EF⊥B1C． (2)由(1)知＝， 则||＝． 又||＝，且·＝×0＋×＋×(－1)＝， 所以cos〈，〉＝＝＝． (3)因为H是C1G的中点，所以H， 所以＝． 所以FH＝||＝＝． 一、选择题 1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由题图，得A(0，0，0)，B1(1，0，1)．正方形AA1B1B的对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，得对角线的交点坐标为．故选B． 2．(2023·广州六十五中高二联考)在平行四边形ABCD中，A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，则点D的坐标为(　　) A．(－1，3，3) B．(1，0，－1) C．(3，－1，2) D．(－1，0，－1) 答案　D 解析　设D(x，y，z)，因为A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，所以＝(1，3，7)，＝(－x，3－y，6－z)，又四边形ABCD是平行四边形，所以＝，即解得所以D(－1，0，－1)． 3．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则线段AB的中点M与点C间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵线段AB的中点M，C(0，1，0)，∴＝，∴CM＝||＝＝． 4．若△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．5 B． C．4 D．2 答案　A 解析　设＝λ，又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)．又＝(－4，5，0)，∴＝＋＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝＝5．故选A． 5．[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　由图形及已知可得，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B对称的点为(8，5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，因此A，C，D正确．故选ACD． 二、填空题 6．如图，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，1)，则的坐标是________． 答案　(－4，3，1) 解析　因为＝(4，3，1)，D为坐标原点，所以B1(4，3，1)，又因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，所以A(4，0，0)，C1(0，3，1)，所以＝(－4，3，1)． 7．已知空间中的点A(－1，1，2)，B(－3，0，4)，若|c|＝3，c∥，则c＝________． 答案　(－2，－1，2)或(2，1，－2) 解析　∵＝(－2，－1，2)，且c∥，∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．∴|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． 8．已知空间三点A(2，3，－1)，B(2，6，2)，C(1，4，－1)，则与的夹角θ的大小是________． 答案　120° 解析　因为＝(0，3，3)，＝(1，－1，0)，所以cosθ＝＝＝＝－．又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°． 三、解答题 9．(2023·重庆永川北山中学期末)已知空间三点A(－2，0，1)，B(－1，1，1)，C(－3，0，3)，设a＝，b＝． (1)若向量a＋kb与ka－2b互相垂直，求k的值； (2)求向量a在向量b上的投影c． 解　(1)由已知得a＝＝(－1，1，1)－(－2，0，1)＝(1，1，0)，b＝＝(－3，0，3)－(－2，0，1)＝(－1，0，2)． 所以a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)， ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)． 因为a＋kb与ka－2b互相垂直，所以(1－k，1，2k)·(k＋2，k，－4)＝(1－k)(k＋2)＋k－8k＝0， 即k2＋8k－2＝0， 解得k＝－4＋3或k＝－4－3． (2)因为|a|＝，|b|＝，a·b＝－1， 所以cos〈a，b〉＝＝－，＝(－1，0，2)＝， 所以向量a在向量b上的投影c＝|a|cos〈a，b〉·＝． 10．(2023·河北石家庄四十一中高二期末)如图，正方体ABCD－EFGH的棱长为2，K为正方形ABCD的中心，M，N分别为棱BF，EF的中点．试判断下列结论是否成立，并说明理由． (1)＝－＋； (2)·＝1； (3)||＝3； (4)△KMN为直角三角形； (5)△KMN的面积为10． 解　以E为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，2)，B(2，0，2)，C(2，2，2)，D(0，2，2)，E(0，0，0)，F(2，0，0)，K(1，1，2)，M(2，0，1)，N(1，0，0)， (1)＝(2，0，0)，＝(0，2，0)，＝(0，0，－2)，＝(1，－1，－1)， －＋＝(1，－1，－1)， 故＝－＋，(1)成立． (2)·＝2，(2)不成立． (3)||＝＝，(3)不成立． (4)＝(－1，0，－1)，则·＝－1＋0＋1＝0， 所以KM⊥MN， 故△KMN为直角三角形，(4)成立． (5)因为||＝， ||＝＝， 所以△KMN的面积为S＝||·||＝，(5)不成立． 11．(2023·山东潍坊高二校考期末)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k为单位向量，i，j，k的方向分别与“空间斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)的正方向相同，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]． (1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； (2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝AD＝2，AA1＝3， ∠BAD＝∠BAA1＝ ∠DAA1＝60°，建立如图所示的“空间斜60°坐标系”．若＝[2，t，0]，且⊥，求||． 解　(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k， 所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k， 所以a＋b＝[0，3，5]． (2)设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k， ＝＋＋＝2i＋2j＋3k， 因为＝[2，t，0]，所以＝2i＋tj， 由⊥知·＝(2i＋2j＋3k)·(2i＋tj)＝0 ⇒4i2＋2tj2＋(4＋2t)i·j＋6k·i＋3tk·j＝0⇒4＋2t＋(4＋2t)·＋3＋＝0⇒t＝－2， 则||＝|2i－2j|＝＝＝＝2． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$